Codeforces Round #284 (Div. 1) B

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本文介绍了一道名为NameThatTune的问题解决方案，通过概率动态规划方法计算在限定时间内辨认歌曲数量的期望值。文章详细展示了状态转移方程，并提供了一段C++代码实现。

B. Name That Tune

题意：在T秒时间内按顺序听n首歌，辨认歌名。每一秒有一次辨认的机会，如果第i首歌上一秒没认出来，这一秒认出来的概率为pi。对于第i首歌，连续听ti秒时一定能认出来。求T秒总共辨认出歌名数的期望。

思路：概率dp。dp(i,j)表示已经辨认出i首歌，且第i首在第j秒辨认出来。朴素的状态转移需要O(n*T)会超时。。所以我们要利用dp(i,j)和dp(i,j-1)的关系进行转移，使转移复杂度降低到O(n)，详见代码。。但是我那样写还是T了，可能是写得比较挫，然后胡乱优化了好一会才过。

#include <iostream>
#include <stdio.h>
#include <string.h>
#include <algorithm>
#include <queue>
#include <map>
#include <vector>
#include <set>
#include <string>
#include <math.h>
using namespace std;

const int maxn=5010;

double pi;
int ti;

double dp[2][maxn];

int main(){
	int n,T;
	cin>>n>>T;
	
	dp[0][0]=1.0;
	double ans=0.0;
	int end=0;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		scanf("%lf%d",&pi,&ti);
		pi/=100.0;
		double _pi=1.0-pi;
		double tmp=pow(_pi,ti-1.0);
		end+=ti;
		for(int j=0;j<i;j++)dp[i&1][j]=0;
		for(int j=i;j<=min(T,end);j++){
			if(j>ti){
				dp[i&1][j]=dp[i&1][j-1]*_pi+dp[(i-1)&1][j-1]*pi;
				dp[i&1][j]+=(dp[(i-1)&1][j-ti]-dp[(i-1)&1][j-ti-1])*tmp*_pi;
			}else{
				if(i==1&&j==ti) dp[i&1][j]=tmp;
				else dp[i&1][j]=dp[i&1][j-1]*_pi+dp[(i-1)&1][j-1]*pi;
			}
			ans+=dp[i&1][j];
		}
	}
	
	printf("%.6lf\n",ans);
	return 0;
}