Codeforces Round 1015, Div. 1 + Div. 2

2025.4.14 Div1+2

Teza Round 1 (Codeforces Round 1015, Div. 1 + Div. 2)

A. Max and Mod(gcd,mod,排列)

题意

您将得到一个整数n 。找出长度为 n的任意排列p ，使得：

-对于所有 2≤i≤n ，满足 max(pi−1,pi)mod $i$ = i−1

思路

易知，当 n 为奇数时

n 1 2 3 4…n-1

这种排列方式，恰好可以满足取模要求。

n 为偶数时呢？

可以大胆猜测 -1

证明：

设n 放在位置 x ,则 max(a[x-1],a[x])=n，应满足 n%x=x-1

若x 为奇数 ，偶数%奇数=奇数，不合题意

若x 为偶数，偶数%偶数=偶数，不合题意

代码

略

---

B. MIN = GCD

题意

给定一个长度为 $n$ 的正整数序列 $a$ 。确定是否可以重新排列 $a$ ，使得存在整数 $i$ （ $1\le i<n$ ）满足

$$\min ([a_1,a_2,\dots ,a_i])=\gcd ([a_{i+1},a_{i+2},\dots ,a_n]).$$

思路

min， 排列

• 此时可以想到，当数组升序排列时，min( )为定值即 a[ 1 ]

1. 如果将min放在 i 之前，那么关于 a[ i ~n ]的数字就可以随意选择。

​ 因为放前面并不影响 min ,又因为 min 为最小值，要想保证 gcd=min,

​ 只需要把 min的倍数进行取模判断是否可以得到gcd=min

2. 如果将 min ,放在右边呢？

   那么此时gcd一定小于等于 min ,而左边一定大于min

   因此，这种情况排除

代码

void solve()
{
    int n;
    cin>>n;
    fir(i,1,n)
    cin>>a[i];
    sort(a+1,a+n+1);
    int f=0,k=0;
    fir(i,2,n)
    {
        if(a[i]%a[1]==0)
        {
            if(f==1)
                k=__gcd(k,a[i]);
           else
               f=1,k=a[i];   
            if(k==a[1])
            {
                cout<<"Yes\n";
                return;
            }    
        }
    }
    cout<<"No\n";
}

---

C. You Soared Afar With Grace（交换）

题意

给出一个长度为 $n$ 的排列 a和b 。您最多可以执行 $$n$$ 次以下操作：

-选择两个索引 $i$ 和 $j$ ( $1\le i,j\le n$ ， $i\ne j$ )

将 $a_i$ 与 $a_j$ 交换，将 $b_i$ 与 $b_j$ 交换。操作后判断 $a$ 和 $b$ 是否可以互逆。

如果可能，输出任何有效的操作序列。否则，输出 $-1$。

长度为 $n$ 的排列是由 $n$ 个从 $1$ 到 $n$ 的不同整数以任意顺序组成的数组

思路

赛时没过，看的题解，首先给出两个提示：

1. 无论怎么交换，a[ i ] 和b[ i ] 的对应关系会变吗 ？
2. 与a[ i ] 和 b [ i ] 颠倒的一对， 应该在什么位置呢？

---

这时你肯定发现

对于 1 ，对应关系是不会变的

对于 2 ，应该放在 n-i+1的位置

所以，思路就有了：

用一个数组用来记录a中每个数的位置，从前往后遍历。

遇到以下三种情况输出-1：

• n为偶数，a[ i ]=b[ i ]
• 出现两个及以上 a[ i ]=b[ i ]
• a[ i ]和b[ i ] 不相互对应

代码

int a[N],b[N],c[N];
void solve()
{
	int n,f=0;
	cin>>n;
	vector<PII> v;
	fir(i,1,n)
	{
	  cin>>a[i];
	  c[a[i]]=i;
	}
	fir(i,1,n) 
	cin>>b[i]; 
	fir(i,1,n/2)
	{
		if(a[i]==b[i])
		{
			if(n%2==0||f==1)//没有合适位置摆放
			{
				cout<<"-1\n";
				return;
			}
			else if(i!=n/2+1)
			{
				swap(a[i],a[n/2+1]);
				swap(b[i],b[n/2+1]);
				swap(c[a[i]],c[a[n/2+1]]);
				v.push_back({i,n/2+1});
				i--;
			}
			f=1;
		}
		else if(b[c[b[i]]]!=a[i])//并没有两两对应
		{
			cout<<"-1\n";
				return;
		}
		else
		{
			if(c[b[i]]!=n-i+1)
			{
				int p=c[b[i]],q=n-i+1;
				swap(a[q],a[p]);
				swap(b[q],b[p]);
				swap(c[a[p]],c[a[q]]);
				v.push_back({q,p});	
			}
		}
	}
	cout<<v.size()<<'\n';
	for(auto it: v)
	{
		int x=it.fi,y=it.se;
		cout<<x<<' '<<y<<'\n';
	}
}

---

D. Arcology On Permafrost（mex,构造）

题意

给你三个整数 $n$ 、 m 和 $k$ ，其中 $m\cdot k<n$ 。

对于由非负整数组成的序列 $b$ ，定义 $f(b)$如下：

• 你可以对 $b$ 进行如下操作：

  让 $l$表示 $b$ 的当前长度。选择一个正整数 $1\le i\le l-k+1$ ，删除索引 $i$ 至 $i+k-1$ 的子数组，并将剩余部分连接起来。

• $f(b)$ 被定义为执行上述操作 最多 $m$ 次(可能为零)后 $\mathrm{mex}(b)$的 最小可能值。

你需要构造一个长度为 $a$ 的序列，该序列由非负整数 $n组成，使得：

• 对于所有 $1\le i\le n$ , $0\le a_i\le 10^9$.

• 在所有这样的序列 $a$中， $f(a)$ 是最大的。

  整数集合 的最小排除数(MEX)定义为在集合 $c$ 中不出现的最小非负整数 $x$ 。

思路

f (b) 是 mex(b) 的最小可能值，所以最多进行m次操作，视作 进行 m 次。

• 设 f (b) 最大是 x , 那么应该怎么排列呢？

由删除操作，模拟可得，以下这种排列才是最优：

0 1 2 3 … x-1 0 1 2 3 … x-1 0 1 …

这样连续重复的排列，才能使 不断删除 也总会留下 0 ~ x-1

• 那 x 应该是多少呢？

每次删除 k 个 ，删除m 次，最后剩下 n-m * k

如果 n-m*k < k ,这时候就可以以 i%k 进行排列， f (b)最大为 n - m * k

如果 n-m*k >= k ,这时候我们可以换一种更优排列：

​ 每个数字最多删除m 次，要想留下来，至少存在 m+1 个。

​ 每个数字出现 m+1 次，会有多少种呢？

​ n / (m+1) ，所以 f (b) 最大为 n / (m+1)

下图例子，帮助你理解：

代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

int main() {
	int T;
	cin >> T;
	while (T--) {
		int n, m, k;
		cin >> n >> m >> k;
		if(n-m*k<k)
		for(int i=0;i<n;i++)
		cout<<i%k<<' ';
		else
		for(int i=0;i<n;i++)
		cout<<i%(n/(m+1))<<' ';
		cout<<"\n";
	}
	return 0;
}