5、逼近空间中的态射、扩张与相关性质

逼近空间中的态射、扩张与相关性质

1. 初始稠密对象

P 在逼近空间范畴 App 中是初始稠密的。更精确地说，对于任何逼近空间 X，源 $(δ_A : X → P) {A∈2^X}$ 和 $(ξ : X → P) {ξ∈L}$ 都是初始的。这一结论的证明基于已有的距离和相关性质。从相关定理可知，若 $δ_{in}$ 表示初始距离，则 $δ_{in} ≤ δ$。反之，通过一系列推导可以证明对于任意 $U ∈ U(X)$，有 $λ_{in}U (x) ≥ λ_U (x)$，从而证明了该结论。Claes（2009）还发现了与 P 相比其他有趣的初始稠密对象。

2. 闭扩张与开扩张

在逼近空间的范畴中，态射通常是收缩映射（本质上是非扩张映射），但也有其对应的扩张映射。扩张映射有两种自然的表达形式，分别对应于拓扑学中的开映射和闭映射，我们将其定义为开扩张和闭扩张。

2.1 闭扩张

• 定义 ：一个从逼近空间 X 到 X′ 的函数 f 被称为闭扩张，如果对于所有 $A ⊆ X$，有 $f (δ_A) ≤ δ’ {f (A)}$，即对于所有 $y ∈ X′$ 和 $A ⊆ X$，有 $\inf {x∈f^{-1}(y)} δ(x, A) ≤ δ’(y, f (A))$。
• 等价性质 ：
  • f 是闭扩张。
  • 对于所有 $μ ∈ PX$，有 $f (l(μ)) ≤ l’( f (μ))$。
  • 对于所有 $F ∈ F(X)