2、走近逼近空间：基础结构与概念解析

走近逼近空间：基础结构与概念解析

在数学的广阔领域中，逼近空间是一个引人入胜的概念。它有着独特的性质，能够由多种不同但等价的结构来确定。接下来，我们将深入探讨逼近空间的各种基础结构。

1. 基本定义与符号说明

在开始介绍具体结构之前，我们先明确一些基本的定义和符号。对于一个集合 $X$，我们用 $2^X$ 表示 $X$ 的所有子集构成的集合，$2^{(X)}$ 表示 $X$ 的所有有限子集构成的集合。同时，定义 $R^+ := [0, \infty[$，$R^+_0 := ]0, \infty[$，$P := [0, \infty]$，并赋予 $P$ 自然的量子结构，包含通常的序、完全格结构和加法半群。在证明不等式 $a \leq b$ 时，若涉及 $0$ 和 $\infty$，通常默认 $a \neq 0$ 且 $b \neq \infty$。

2. 距离结构

距离是一种直观且吸引人的结构，它描述了点与集合之间的距离。

• 定义 ：一个函数 $\delta : X \times 2^X \to P$ 被称为距离，需满足以下性质：
• (D1) $\forall x \in X, \forall A \subseteq X : x \in A \Rightarrow \delta(x, A) = 0$；
• (D2) $\forall x \in X : \delta(x, \varnothing) = \infty$；
• (D3) $\forall x \in X, \forall A, B \subseteq X : \de