12、指标分析与紧致性指标研究

指标分析与紧致性指标研究

1. 函数性质与指标关系

1.1 函数复合性质

设 (X)、(X’) 和 (X’‘) 为逼近空间，(f: X \to X’) 和 (g: X’ \to X’‘) 为函数，有以下性质：
1. (f) 是恰当压缩映射当且仅当 (\chi_p(f) = \chi_c(f) = 0)。
2. (\chi_p(g \circ f) \leq \chi_p(f) + \chi_p(g))。
3. 若 (f) 是满射，则 (\chi_p(g) \leq \chi_p(g \circ f) + \chi_c(f))。
4. 若 (g) 是单射，则 (\chi_p(f) \leq \chi_p(g \circ f) + \chi_c(g))。
5. (\chi_{ce} \leq \chi_p)。

1.2 拓扑空间中的推论

若 (X)、(X’) 和 (X’‘) 为拓扑空间，(f: X \to X’) 和 (g: X’ \to X’‘) 为函数：
1. 若 (f) 是满射且连续，(g \circ f) 是恰当的，则 (g) 是恰当的。
2. 若 (g) 是单射且连续，(g \circ f) 是恰当的，则 (f) 是恰当的。

1.3 函数限制的指标性质

若 (f: X \to X’) 是逼近空间之间的函数，(Z \subseteq X’)，考虑限制 (g := f|_{f^{-1}(Z)}: f^{-1}(Z) \to Z)，则 (\chi_p(g) \leq \chi_p(f))。

1.4 示例

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