27、霍普夫代数中的斯威德勒记号：原理与应用

霍普夫代数中的斯威德勒记号：原理与应用

1. 霍普夫代数基础运算

在霍普夫代数的研究中，一些基本运算起着关键作用。对于对偶空间 (A^o) 中的元素 (f)，余单位 (\epsilon^o: A^o \to \mathbb{C}) 定义为 (\epsilon^o(f) := f(1_A) \in \mathbb{C})；余逆 (\tau^o: A^o \to A^o) 定义为 (\tau^o(f) := f \circ \tau: A \to \mathbb{C})。这里的五个运算在 (A^o) 上的定义都是其在 (A) 上“对偶”运算的拉回。

练习思考

需要证明 (\langle A^o, \mu^o, \eta^o, \Delta^o, \epsilon^o, \tau^o \rangle) 构成一个霍普夫代数。

2. 霍普夫代数的对偶配对

设 (\langle A_j, \mu_j, \eta_j, \Delta_j, \epsilon_j, \tau_j \rangle)（(j = 1, 2)）为霍普夫代数，一个双线性映射 (A_1 \times A_2 \to \mathbb{C})，记为 ((f, a) \mapsto \langle f, a \rangle)，若对于所有 (f, g \in A_1) 和 (a, b \in A_2) 满足以下条件，则称其为对偶配对：
- (\langle \Delta_1(f), a \otimes b \rangle = \langle f, ab \rangle = \langle f, \mu_2(a \otimes b) \rangle)
- (\lang