4、逼近空间中的对象与态射：收缩映射的深入探究

逼近空间中的对象与态射：收缩映射的深入探究

1. 相关推论与命题

在逼近空间的研究中，有几个重要的推论和命题值得关注。
- 推论 1.2.68 ：对于任意的 (A \subseteq X) 和 (x \in X)，存在一个超滤 (U \in U(A))，使得 (\delta(x, A) = \lambda_U (x))。这一推论建立了距离函数 (\delta) 和超滤极限 (\lambda_U) 之间的联系，为后续的研究提供了基础。
- 命题 1.2.69 ：对于任意的滤子 (F) 和 (x \in X)，有 (\alpha_F(x) = \sup_{\phi \in A (x)} \sup_{F \in F} \inf_{y \in F} \phi(y) = \sup_{d \in G} \sup_{F \in F} \inf_{y \in F} d(x, y))。该命题从逼近系统 (A) 和度量族 (G) 的角度对附着算子 (\alpha_F) 进行了刻画，有助于我们更深入地理解附着算子的性质。
- 命题 1.2.70 ：对于任意的滤子 (F) 以及 (x, y \in X)，有 (\lambda_F(x) \leq \delta(x, {y}) + \lambda_F(y)) 和 (\alpha_F(x) \leq \delta(x, {y}) + \alpha_F(y))。通过一系列的推导，利用已知的性质和定义，证明了这两个不等式，进一步揭示了极限算子 (\lambda_F)、附着算子 (\alpha_F) 与距离函数 (\delta) 之间的关系。