25、逼近理论与有向完全偏序集及定义域的交汇

逼近理论与有向完全偏序集及定义域的交汇

在理论计算机科学中，为了对编程语言的语义进行建模，人们创造了一些数学结构，即语义定义域，其主要目的是定义计算机程序的含义。其中，有向完全偏序集（dcpo）和连续dcpo（即定义域）是非常有用的模型。

1. 基本理论背景

• Scott模型与不动点定理 ：Scott在1972年的工作中，为给定的dcpo $(X, ≤)$ 赋予了Scott拓扑 $\sigma(X)$，用于研究 $X$ 中的收敛现象和描述Scott连续函数，在他的模型中，Scott连续函数代表可计算函数。对于具有底元素的dcpo上的Scott连续映射，有“Scott最小不动点定理”，该定理通过在底元素上迭代函数来获得最小不动点。在Scott模型中，不动点定理极其重要，因为它们代表了算法的“含义”。Edalat在1998年的工作表明，Scott最小不动点定理蕴含了在完备度量空间上Lipschitz因子严格小于1的Lipschitz函数的经典“Banach不动点定理”。
• 定义域的可量化性问题 ：然而，仅定义域本身在更精细的定量推理中是不够的。为了捕捉定量数据，人们使用赋予了可加权拟度量结构的dcpo，或者等价地，使用诱导Scott拓扑的部分拟度量结构。Schellekens（2003）和Waszkiewicz（2003）独立证明了所有具有可数基的定义域都是可量化的。在这种情况下，可加权拟度量是通过对自然数集 $\mathbb{N}$ 的某个合适子集取无穷和 $\sum\frac{1}{2^n}$ 来构造的。不过，虽然这种拟度量的存在很重要，但用它计算出的数值并不是规范确定的，而且该过程严重依赖