10.排序算法C++（笔记）

1 排序算法

「排序算法 sorting algorithm」用于对一组数据按照特定顺序进行排列。排序算法有着广泛的应用，因为有序数据通常能够被更高效地查找、分析和处理。

如图所示，排序算法中的数据类型可以是整数、浮点数、字符或字符串等。排序的判断规则可根据需求设定，如数字大小、字符 ASCII 码顺序或自定义规则。

1.1 评价维度

运行效率：我们期望排序算法的时间复杂度尽量低，且总体操作数量较少（时间复杂度中的常数项变小）。对于大数据量的情况，运行效率显得尤为重要。

就地性：顾名思义，「原地排序」通过在原数组上直接操作实现排序，无须借助额外的辅助数组，从而节省内存。通常情况下，原地排序的数据搬运操作较少，运行速度也更快。

稳定性：「稳定排序」在完成排序后，相等元素在数组中的相对顺序不发生改变。

稳定排序是多级排序场景的必要条件。假设我们有一个存储学生信息的表格，第 1 列和第 2 列分别是姓名和年龄。在这种情况下，「非稳定排序」可能导致输入数据的有序性丧失：

# 输入数据是按照姓名排序好的
# (name, age)
  ('A', 19)
  ('B', 18)
  ('C', 21)
  ('D', 19)
  ('E', 23)

# 假设使用非稳定排序算法按年龄排序列表，
# 结果中 ('D', 19) 和 ('A', 19) 的相对位置改变，
# 输入数据按姓名排序的性质丢失
  ('B', 18)
  ('D', 19)
  ('A', 19)
  ('C', 21)
  ('E', 23)

自适应性：「自适应排序」的时间复杂度会受输入数据的影响，即最佳时间复杂度、最差时间复杂度、平均时间复杂度并不完全相等。

自适应性需要根据具体情况来评估。如果最差时间复杂度差于平均时间复杂度，说明排序算法在某些数据下性能可能劣化，因此被视为负面属性；而如果最佳时间复杂度优于平均时间复杂度，则被视为正面属性。

是否基于比较：「基于比较的排序」依赖比较运算符（<、= 、>）来判断元素的相对顺序，从而排序整个数组，理论最优时间复杂度为 O(n log n) 。而「非比较排序」不使用比较运算符，时间复杂度可达 O(n) ，但其通用性相对较差。

1.2 理想排序算法

运行快、原地、稳定、正向自适应、通用性好。显然，迄今为止尚未发现兼具以上所有特性的排序算法。因此，在选择排序算法时，需要根据具体的数据特点和问题需求来决定。

接下来，我们将共同学习各种排序算法，并基于上述评价维度对各个排序算法的优缺点进行分析。

2 选择排序

「选择排序 selection sort」的工作原理非常简单：开启一个循环，每轮从未排序区间选择最小的元素，将其放到已排序区间的末尾。

设数组的长度为 n ，选择排序的算法流程如图所示。

1. 初始状态下，所有元素未排序，即未排序（索引）区间为 [0,n-1] 。

2. 选取区间 [0,n-1] 中的最小元素，将其与索引 0 处的元素交换。完成后，数组前 1 个元素已排序。

3. 选取区间 [1,n-1] 中的最小元素，将其与索引 1 处的元素交换。完成后，数组前 2 个元素已排序。

4. 以此类推。经过 n-1 轮选择与交换后，数组前 n-1 个元素已排序。

5. 仅剩的一个元素必定是最大元素，无须排序，因此数组排序完成。

在代码中，我们用 k 来记录未排序区间内的最小元素：

/* 选择排序 */
void selectionSort(vector<int> &nums) {
    int n = nums.size();
    // 外循环：未排序区间为 [i, n-1]
    for (int i = 0; i < n - 1; i++) {
        // 内循环：找到未排序区间内的最小元素
        int k = i;
        for (int j = i + 1; j < n; j++) {
            if (nums[j] < nums[k])
                k = j; // 记录最小元素的索引
        }
        // 将该最小元素与未排序区间的首个元素交换
        swap(nums[i], nums[k]);
    }
}

2.1 算法特性

• 时间复杂度为 O(n²)、非自适应排序：外循环共 n-1 轮，第一轮的未排序区间长度为 n ，最后一轮的未排序区间长度为 2 ，即各轮外循环分别包含n、n-1、…、3、2轮内循环，求和为 (n-1)(n+2)/2 。

• 空间复杂度O(1)、原地排序：指针 i 和 j 使用常数大小的额外空间。

• 非稳定排序：如图所示，元素 nums[i] 有可能被交换至与其相等的元素的右边，导致两者的相对顺序发生改变。

3 冒泡排序

「冒泡排序 bubble sort」通过连续地比较与交换相邻元素实现排序。这个过程就像气泡从底部升到顶部一样，因此得名冒泡排序。

如图所示，冒泡过程可以利用元素交换操作来模拟：从数组最左端开始向右遍历，依次比较相邻元素大小，如果“左元素 > 右元素”就交换二者。遍历完成后，最大的元素会被移动到数组的最右端。

3.1 算法流程

设数组的长度为 n ，冒泡排序的步骤如图所示。

1. 首先，对 n 个元素执行“冒泡”，将数组的最大元素交换至正确位置，

2. 接下来，对剩余 n-1 个元素执行“冒泡”，将第二大元素交换至正确位置。

3. 以此类推，经过 n-1 轮“冒泡”后，前 n-1大的元素都被交换至正确位置。

4. 仅剩的一个元素必定是最小元素，无须排序，因此数组排序完成。

示例代码如下：

/* 冒泡排序 */
void bubbleSort(vector<int> &nums) {
    // 外循环：未排序区间为 [0, i]
    for (int i = nums.size() - 1; i > 0; i--) {
        // 内循环：将未排序区间 [0, i] 中的最大元素交换至该区间的最右端
        for (int j = 0; j < i; j++) {
            if (nums[j] > nums[j + 1]) {
                // 交换 nums[j] 与 nums[j + 1]
                // 这里使用了 std::swap() 函数
                swap(nums[j], nums[j + 1]);
            }
        }
    }
}

3.2 效率优化

我们发现，如果某轮“冒泡”中没有执行任何交换操作，说明数组已经完成排序，可直接返回结果。因此，可以增加一个标志位 flag 来监测这种情况，一旦出现就立即返回。

经过优化，冒泡排序的最差时间复杂度和平均时间复杂度仍为 O(n²) ；但当输入数组完全有序时，可达到最佳时间复杂度 O(n) 。

/* 冒泡排序（标志优化）*/
void bubbleSortWithFlag(vector<int> &nums) {
    // 外循环：未排序区间为 [0, i]
    for (int i = nums.size() - 1; i > 0; i--) {
        bool flag = false; // 初始化标志位
        // 内循环：将未排序区间 [0, i] 中的最大元素交换至该区间的最右端
        for (int j = 0; j < i; j++) {
            if (nums[j] > nums[j + 1]) {
                // 交换 nums[j] 与 nums[j + 1]
                // 这里使用了 std::swap() 函数
                swap(nums[j], nums[j + 1]);
                flag = true; // 记录交换元素
            }
        }
        if (!flag)
            break; // 此轮冒泡未交换任何元素，直接跳出
    }
}

3.3 算法特性

• 时间复杂度为 O(n²) 、自适应排序：各轮“冒泡”遍历的数组长度依次为**n-1、n-2、…、2、1 **，总和为 (n-1)n/2 。在引入 flag 优化后，最佳时间复杂度可达到 O(n) 。

• 空间复杂度为 O(1)、原地排序：指针 i 和 j 使用常数大小的额外空间。

• 稳定排序：由于在“冒泡”中遇到相等元素不交换。

4 插入排序

「插入排序 insertion sort」是一种简单的排序算法，它的工作原理与手动整理一副牌的过程非常相似。

具体来说，我们在未排序区间选择一个基准元素，将该元素与其左侧已排序区间的元素逐一比较大小，并将该元素插入到正确的位置。

下图展示了数组插入元素的操作流程。设基准元素为 base ，我们需要将从目标索引到 base 之间的所有元素向右移动一位，然后将 base 赋值给目标索引。

4.1 算法流程

插入排序的整体流程如图所示。

1. 初始状态下，数组的第 1 个元素已完成排序。
2. 选取数组的第 2 个元素作为 base ，将其插入到正确位置后，数组的前 2 个元素已排序。
3. 选取第 3 个元素作为 base ，将其插入到正确位置后，数组的前 3 个元素已排序。
4. 以此类推，在最后一轮中，选取最后一个元素作为 base ，将其插入到正确位置后，所有元素均已排序。

示例代码如下：

/* 插入排序 */
void insertionSort(vector<int> &nums) {
    // 外循环：已排序元素数量为 1, 2, ..., n
    for (int i = 1; i < nums.size(); i++) {
        int base = nums[i], j = i - 1;
        // 内循环：将 base 插入到已排序部分的正确位置
        while (j >= 0 && nums[j] > base) {
            nums[j + 1] = nums[j]; // 将 nums[j] 向右移动一位
            j--;
        }
        nums[j + 1] = base; // 将 base 赋值到正确位置
    }
}

4.2 算法特性

• 时间复杂度 O(n²)、自适应排序：在最差情况下，每次插入操作分别需要循环n-1、n-2、…、2、1次，求和得到 (n-1)n/2 ，因此时间复杂度为 O(n²) 。在遇到有序数据时，插入操作会提前终止。当输入数组完全有序时，插入排序达到最佳时间复杂度 O(n) 。

• 空间复杂度O(1)、原地排序：指针 i 和 j 使用常数大小的额外空间。

• 稳定排序：在插入操作过程中，我们会将元素插入到相等元素的右侧，不会改变它们的顺序。