9、有限置换群的二次不变量计算方法

有限置换群的二次不变量计算方法

1. 问题背景与研究目标

在不变量理论中，有限置换群二次不变量的计算问题仅在非常特殊的情况下得到解决。我们聚焦于非模情形下有限置换群二次不变量的计算问题。通过将计算定位在对称群的选定不可约表示内，利用对称群表示理论的组合结果，以更高的Specht多项式为基础重建不变环的显式生成元。

2. 置换群的不变环与对称群表示

2.1 置换群的不变环及其在组合学中的应用

从不变量理论的一个关键结果出发，设(\theta_1, \cdots, \theta_n)是(K[x]^G)的一组齐次参数，(G)是(GL(K^n))的有限子群，阶为(\vert G\vert)，(d_i = \text{deg}(\theta_i))，(t = d_1 \cdots d_n / \vert G\vert)，则(G)在商环(K[x] / (\theta_1, \cdots, \theta_n))上的作用同构于(t)倍的(G)的正则表示。

对于对称群(S_n)，取(\theta_i = e_i)（初等对称多项式），则(K[x] / (e_1, \cdots, e_n))同构于(S_n)的正则表示(RR(S_n))，此商环被称为对称群的上同调环，已有多种显式基被构建，如调和多项式、舒伯特多项式、下降单项式等。

设(G)是(S_n)的置换子群，再次应用上述结果，可得(K[x] / (e_1, \cdots, e_n) \sim_G \bigoplus_{i = 1}^{n! / \vert G\vert} RR(G))。在非模情形下，(G)作用下的不变环是Cohen - Macaulay代数，存在一组生成元(\eta