群与作用3.1-Sylow子群的例子

Lagrange定理：若有限群的子群的阶都是大群阶的因子。（反之不成立）
$$但是$$
某群的阶数为a,对数a进行素分解：

例如：
|G|=100

subgroup $$100=2^2\cdot 5^2$$

must have subgroup of order:
1 ,2 ,4 and 25
order 4 25 的subgroups conjuct to each other
$$4是:2-sylowsubgroup,25是：5-sylowsubgroup$$

group Z/（12） $$12=2^2\cdot 3$$

唯一的2-sylow subgroup — {0，3，6，9}=<3>
唯一的3-sylow subgroup — {0，4，8}=<4>

sylow 第三定理与单群的判断(观看其非平凡正规子群)

证|G|=72，G不是单群：
$$72=2^3\ast 3^2$$
设k为sylow-3-子群的个数，k=3t+1,k|8
则 t=0或1
若t=0:k=1,sylow-3-子群为正规子群
若t=1:k=4,设sylow-3-子群的集合为X={P1,P2,P3,P4}
G在X上的作用可递，则有G到S₄ 的同态。G/同态核与S₄ 的一个子群同构，
而|S₄|=24<72,知同态核不为单位元，又因为G在X上的作用可递，所以同态核不等于G，所以同态核不平凡

参考：怎么理解Sylow定理