群与作用3.1-Sylow子群的例子

本文深入探讨了Lagrange定理在群论中的应用,指出子群阶数与大群阶数的关系,并通过实例说明了Sylow定理的应用,包括Sylow子群的寻找及如何通过Sylow第三定理判断群是否为单群。

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Lagrange定理:若有限群的子群的阶都是大群阶的因子。(反之不成立)
但 是 但是
某群的阶数为a,对数a进行素分解:

例如:
|G|=100

subgroup 100 = 2 2 ⋅ 5 2 100=2 ^ { 2 } \cdot 5 ^ { 2 } 100=2252

must have subgroup of order:
1 ,2 ,4 and 25
order 4 25 的subgroups conjuct to each other
4 是 : 2 − s y l o w s u b g r o u p , 25 是 : 5 − s y l o w s u b g r o u p 4是:2-sylow subgroup, 25是:5-sylow subgroup 4:2sylowsubgroup,255sylowsubgroup

group Z/(12) 12 = 2 2 ⋅ 3 12=2 ^ { 2 } \cdot 3 12=223

唯一的2-sylow subgroup — {0,3,6,9}=<3>
唯一的3-sylow subgroup — {0,4,8}=<4>

sylow 第三定理与单群的判断(观看其非平凡正规子群)

证|G|=72,G不是单群:
72 = 2 3 ∗ 3 2 72=2^3*3^2 72=2332
设k为sylow-3-子群的个数,k=3t+1,k|8
则 t=0或1
若t=0:k=1,sylow-3-子群为正规子群
若t=1:k=4,设sylow-3-子群的集合为X={P1,P2,P3,P4}
G在X上的作用可递,则有G到S4 的同态。G/同态核与S4 的一个子群同构,
而|S4|=24<72,知同态核不为单位元,又因为G在X上的作用可递,所以同态核不等于G,所以同态核不平凡

参考:怎么理解Sylow定理

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