本文深入探讨了Lagrange定理在群论中的应用，指出子群阶数与大群阶数的关系，并通过实例说明了Sylow定理的应用，包括Sylow子群的寻找及如何通过Sylow第三定理判断群是否为单群。
Lagrange定理：若有限群的子群的阶都是大群阶的因子。（反之不成立）
但
是
但是
但是
某群的阶数为a,对数a进行素分解：
例如：
|G|=100
subgroup 100 = 2 2 ⋅ 5 2 100=2 ^ { 2 } \cdot 5 ^ { 2 } 100=22⋅52
must have subgroup of order:
1 ,2 ,4 and 25
order 4 25 的subgroups conjuct to each other
4
是
:
2
−
s
y
l
o
w
s
u
b
g
r
o
u
p
,
25
是
：
5
−
s
y
l
o
w
s
u
b
g
r
o
u
p
4是:2-sylow subgroup, 25是：5-sylow subgroup
4是:2−sylowsubgroup,25是：5−sylowsubgroup
group Z/（12） 12 = 2 2 ⋅ 3 12=2 ^ { 2 } \cdot 3 12=22⋅3
唯一的2-sylow subgroup — {0，3，6，9}=<3>
唯一的3-sylow subgroup — {0，4，8}=<4>
sylow 第三定理与单群的判断(观看其非平凡正规子群)
证|G|=72，G不是单群：
72
=
2
3
∗
3
2
72=2^3*3^2
72=23∗32
设k为sylow-3-子群的个数，k=3t+1,k|8
则 t=0或1
若t=0:k=1,sylow-3-子群为正规子群
若t=1:k=4,设sylow-3-子群的集合为X={P1,P2,P3,P4}
G在X上的作用可递，则有G到S4 的同态。G/同态核与S4 的一个子群同构，
而|S4|=24<72,知同态核不为单位元，又因为G在X上的作用可递，所以同态核不等于G，所以同态核不平凡
参考：怎么理解Sylow定理
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