20、西罗定理：有限群结构的关键钥匙

西罗定理：有限群结构的关键钥匙

1. 西罗定理概述

西罗定理是有限群理论中的一组重要结果，这些定理的核心在于依据群的阶来确定群的结构。它们在群论中占据着核心地位，并且可以看作是拉格朗日定理的部分逆定理。这里的“部分”是指，它仅在子群的阶为素数时，才能保证子群的存在性。这些定理以挪威数学家 P. Ludwig Sylow 的名字命名，他在 1872 年发表了这些定理。

2. p - 群与西罗 p - 子群

2.1 定义

• p - 群 ：设 (G) 是一个群，(p) 是一个素数。如果 (o(G) = p^n)（其中 (n \geq 1)），则称 (G) 为 (p) - 群。(G) 的子群中是 (p) - 群的称为 (p) - 子群。
  • 例如，对于群 (\mathbb{Z}_9)，(o(\mathbb{Z}_9) = 9 = 3^2)，所以 (\mathbb{Z}_9) 是一个 (3) - 群。
  • 对于群 (U(32))，(o(U(32)) = 16 = 2^4)，所以 (U(32)) 是一个 (2) - 群。
• 西罗 p - 子群 ：设 (G) 是一个阶为 (p^n m) 的群，其中 (p) 是一个不整除 (m) 的素数，则阶为 (p^n) 的子群称为 (G) 的西罗 (p) - 子群。(G) 的所有西罗 (p) - 子群的集合记为 (Syl_p(G))，西罗 (p) - 子群的个数记为 (n_p)。

2.2 西罗第一定理