概率论基础教程第4章随机变量(三)

最新推荐文章于 2025-12-14 21:32:36 发布

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#概率论

4.5 方差

定义

方差是衡量随机变量取值相对于均值离散程度的重要指标。
若随机变量 $ X $ 的期望为 $ \mu = E[X] $，则 $ X $ 的方差记为 $ Var(X) $，定义为：

$\mu)^2]$

方差的等价计算公式：
$\begin{aligned} Var(X) &= E[(X - \mu)^2] = \sum_x (x - \mu)^2 p(x) \\ &= \sum_x (x^2 - 2\mu x + \mu^2) p(x) \\ &= \sum_x x^2 p(x) - 2\mu \sum_x x p(x) + \mu^2 \sum_x p(x) \\ &= E[X^2] - 2\mu^2 + \mu^2 = E[X^2] - \mu^2 \end{aligned}$

即：

$\boxed{Var(X) = E[X^2] - (E[X])^2} \tag{5.1}$

例如：考虑三个随机变量 $ W, Y, Z $：

$ W = 0 $（常数）

$ Y = \begin{cases} -1 & \text{概率 } 1/2 \ +1 & \text{概率 } 1/2 \end{cases} $

$ Z = \begin{cases} -100 & \text{概率 } 1/2 \ +100 & \text{概率 } 1/2 \end{cases} $

三者期望值均为 0，但方差分别为：

$ Var(W) = 0 $

$ Var(Y) = 1 $

$ Var(Z) = 10000 $

方差反映了取值离散程度的不同。

性质

定理 5.1

对于任意常数 $ a $ 和 $ b $，有：

$\boxed{Var(aX + b) = a^2 Var(X)} \tag{5.2}$

证明：

令 $ \mu = E[X] $，由推论 4.1 知 $ E[aX + b] = a\mu + b $
因此：
$\begin{aligned} Var(aX + b) &= E[(aX + b - a\mu - b)^2] \\ &= E[a^2(X - \mu)^2] \\ &= a^2E[(X - \mu)^2] \\ &= a^2Var(X) \end{aligned}$

[!NOTE]
方差不受常数项影响，但会受比例因子的平方影响。这表明方差衡量的是数据的"分散程度"，而不是位置。

标准差

标准差（Standard Deviation）是方差的平方根，记为 $ SD(X) $：
$\sqrt{Var(X)}$
标准差与原始数据具有相同的量纲，更便于解释。

例题

例 5a：掷骰子方差计算

设 $ X $ 表示掷一枚均匀骰子出现的点数，计算 $ Var(X) $。

由例 3a 知 $ E[X] = \frac{7}{2} $
计算 $ E[X^2] $：
$E[X^2] = 1^2 \times \frac{1}{6} + 2^2 \times \frac{1}{6} + 3^2 \times \frac{1}{6} + 4^2 \times \frac{1}{6} + 5^2 \times \frac{1}{6} + 6^2 \times \frac{1}{6} = \frac{91}{6}$
应用公式 (5.1)：
$\frac{91}{6} - \left(\frac{7}{2}\right)^2 = \frac{91}{6} - \frac{49}{4} = \frac{35}{12}$

4.6 伯努利随机变量和二项随机变量

伯努利随机变量

伯努利随机变量表示一次试验的结果（成功或失败）：
$\begin{cases} 1 & \text{if 成功} \\ 0 & \text{if 失败} \end{cases}$
分布列为：
$\quad p(1) = P(X = 1) = p$
其中 $ 0 \leq p \leq 1 $ 是每次试验成功的概率。
伯努利随机变量是参数为 $ (1, p) $ 的二项随机变量的特例。

二项随机变量

二项随机变量表示 $ n $ 次独立重复伯努利试验中成功的次数。
若 $ X $ 是参数为 $ (n, p) $ 的二项随机变量，则其分布列为：
$\boxed{p(i) = \binom{n}{i} p^{i} (1-p)^{n-i} \qquad i = 0, 1, \cdots, n} \tag{6.2}$
由二项式定理可知概率和为 1：
$\sum_{i=0}^{n} \binom{n}{i} p^{i} (1-p)^{n-i} = [p + (1-p)]^{n} = 1$