概率论基础教程第5章连续型随机变量(二)

最新推荐文章于 2025-12-20 10:48:38 发布

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#概率论

5.3 均匀随机变量

定义与性质

均匀随机变量是最简单的连续型随机变量，其概率密度函数在整个定义区间内为常数。

(0,1)区间

如果随机变量 $X$ 的密度函数为：
$\begin{cases} 1 & 0 < x < 1 \\ 0 & \text{其他} \end{cases} \tag{3.1}$

则称 $X$ 在 $(0, 1)$ 区间上均匀分布。

验证：

$\geq 0$ 对所有 $x$ 成立
$dx=1\int_{-\infty}^{\infty} f(x) \, \mathrm{d}x = \int_{0}^{1} 1 \, \mathrm{d}x = 1$

一般区间

更一般地，如果随机变量 $X$ 的密度函数为：
$\begin{cases} \frac{1}{\beta - \alpha} & \alpha < x < \beta \\ 0 & \text{其他} \end{cases} \tag{3.2}$

则称 $X$ 在区间 $(α,β)(\alpha, \beta)$ 上均匀分布。

直观理解：

由于 $f (x)$ 在 $(α,β)(\alpha, \beta)$ 内为常数， $X$ 在区间内任何位置取值的概率密度相同
对任意 $a, b$ 满足 $α≤a<b≤β\alpha \leq a < b \leq \beta$ ：
$P\{a \leqslant X \leqslant b\} = \int_a^b f(x) \, \mathrm{d}x = \frac{b-a}{\beta-\alpha}$
这表明 $X$ 属于 $(α,β)(\alpha, \beta)$ 的任一子区间的概率等于该子区间长度与总区间长度的比值

分布函数

区间 $(α,β)(\alpha, \beta)$ 上均匀随机变量的分布函数为：
$\begin{cases} 0 & a \leq \alpha \\ \frac{a-\alpha}{\beta-\alpha} & \alpha < a < \beta \\ 1 & a \geq \beta \end{cases}$

期望

$\begin{aligned} E[X] &= \int_{-\infty}^{\infty} x f(x) \, \mathrm{d}x \\ &= \int_{\alpha}^{\beta} \frac{x}{\beta - \alpha} \, \mathrm{d}x \\ &= \frac{1}{\beta - \alpha} \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{\alpha}^{\beta} \\ &= \frac{\beta^2 - \alpha^2}{2(\beta - \alpha)} \\ &= \frac{(\beta - \alpha)(\beta + \alpha)}{2(\beta - \alpha)} \\ &= \frac{\beta + \alpha}{2} \end{aligned}$

方差

首先计算 $E[X^2]$ ：
$\begin{aligned} E[X^2] &= \int_{\alpha}^{\beta} \frac{x^2}{\beta - \alpha} \, \mathrm{d}x \\ &= \frac{1}{\beta - \alpha} \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{\alpha}^{\beta} \\ &= \frac{\beta^3 - \alpha^3}{3(\beta - \alpha)} \\ &= \frac{(\beta - \alpha)(\beta^2 + \alpha\beta + \alpha^2)}{3(\beta - \alpha)} \\ &= \frac{\beta^2 + \alpha\beta + \alpha^2}{3} \end{aligned}$

然后计算方差：
$\begin{aligned} Var(X) &= E[X^2] - (E[X])^2 \\ &= \frac{\beta^2 + \alpha\beta + \alpha^2}{3} - \left(\frac{\beta + \alpha}{2}\right)^2 \\ &= \frac{4(\beta^2 + \alpha\beta + \alpha^2) - 3(\beta^2 + 2\alpha\beta + \alpha^2)}{12} \\ &= \frac{4\beta^2 + 4\alpha\beta + 4\alpha^2 - 3\beta^2 - 6\alpha\beta - 3\alpha^2}{12} \\ &= \frac{\beta^2 - 2\alpha\beta + \alpha^2}{12} \\ &= \frac{(\beta - \alpha)^2}{12} \end{aligned}$

例题

例 3b：如果 $X$ 服从 $(0, 10)$ 上的均匀分布，计算：

(a) $P\{X < 3\}$ ：
$P\{X < 3\} = \int_{0}^{3} \frac{1}{10} \, \mathrm{d}x = \frac{3}{10}$
(b) $P\{X > 6\}$ ：
$P\{X > 6\} = \int_{6}^{10} \frac{1}{10} \, \mathrm{d}x = \frac{4}{10}$

例 3c：某乘客在 7:00 到 7:30 之间到达车站的时间服从均匀分布，求：

(a) 等车时间不超过 5 分钟的概率

假设公交车在 7:00, 7:15, 7:30 等时间点发车，等车时间不超过 5 分钟意味着乘客在 7:10-7:15 或 7:25-7:30 之间到达：
$\begin{aligned} P\{\text{等车时间} \leq 5\} &= P\{10 < X < 15\} + P\{25 < X < 30\} \\ &= \int_{10}^{15} \frac{1}{30} \, \mathrm{d}x + \int_{25}^{30} \frac{1}{30} \, \mathrm{d}x \\ &= \frac{5}{30} + \frac{5}{30} = \frac{1}{3} \end{aligned}$
(b) 等车时间超过 10 分钟的概率

等车时间超过 10 分钟意味着乘客在 7:00-7:05 或 7:15-7:20 之间到达：
$\begin{aligned} P\{\text{等车时间} > 10\} &= P\{0 < X < 5\} + P\{15 < X < 20\} \\ &= \int_{0}^{5} \frac{1}{30} \, \mathrm{d}x + \int_{15}^{20} \frac{1}{30} \, \mathrm{d}x \\ &= \frac{5}{30} + \frac{5}{30} = \frac{1}{3} \end{aligned}$