概率论基础教程第4章 随机变量(四)

4.7 泊松随机变量

定义

• 泊松随机变量：如果一个取值于 $ 0, 1, 2, \ldots $ 的随机变量对某一个 $ \lambda > 0 $，其分布列为：

p(i)=P{ X=i}=e−λλii!i=0,1,2,⋯(7.1) \boxed{p(i) = P\{X = i\} = e^{-\lambda} \frac{\lambda^i}{i!} \qquad i = 0, 1, 2, \cdots} \tag{7.1} p(i)=P{ X=i}=e−λi!λi​i=0,1,2,⋯​(7.1)

则称该随机变量为服从参数 $ \lambda $ 的泊松随机变量。

分布列验证：
$$\sum _{i=0}^{\infty }p(i)=e^{-\lambda }\sum _{i=0}^{\infty }\frac{{\lambda }^i}{i!}=e^{-\lambda }{e}^{\lambda }=1$$

近似二项分布

当 $ n $ 足够大，$ p $ 充分小，而使得 $ np $ 保持适当大小时，参数为 $ (n, p) $ 的二项随机变量可近似地看做是参数为 $ \lambda = np $ 的泊松随机变量。

证明：

• 设 $ X $ 是参数为 $ (n, p) $ 的二项随机变量，令 $ \lambda = np $

• 则：
  P{ X=i}=n!(n−i)!i!pi(1−p)n−i=n!(n−i)!i!(λn)i(1−λn)n−i=n(n−1)⋯(n−i+1)niλii!(1−λ/n)n(1−λ/n)i \begin{aligned} P\{X = i\} &= \frac{n!}{(n-i)!i!}p^{i}(1-p)^{n-i} \\ &= \frac{n!}{(n-i)!i!} \left(\frac{\lambda}{n}\right)^{i} \left(1 - \frac{\lambda}{n}\right)^{n-i} \\ &= \frac{n(n-1)\cdots(n-i+1)}{n^{i}} \frac{\lambda^{i}}{i!} \frac{(1-\lambda/n)^{n}}{(1-\lambda/n)^{i}} \end{aligned} P{ X=i}​=(n−i)!i!n!​pi(1−p)n−i=(n−i)!i!n!​(nλ​)i(1−nλ​)n−i=nin(n−1)⋯(n−i+1)​i!λi​(1−λ/n)i(1−λ/n)n​​

• 当 $ n $ 充分大且 $ \lambda $ 适当时：

  [!NOTE]

  1. ${\left(1-\frac{\lambda }{n}\right)}^n\approx e^{-\lambda }$

  这个近似是基于自然指数函数 $e^x$ 的基本定义和极限性质。

  数学定义：
  $$e^x=\underset{n\to \infty }{\lim }{\left(1+\frac{x}{n}\right)}^n$$

  当 $x=-\lambda$ 时：
  $$e^{-\lambda }=\underset{n\to \infty }{\lim }{\left(1-\frac{\lambda }{n}\right)}^n$$

  证明过程：

  1. 令 $y={\left(1-\frac{\lambda }{n}\right)}^n$，取自然对数：
     $$\ln y=n\ln \left(1-\frac{\lambda }{n}\right)$$

  2. 使用泰勒展开（当 $|x|<1$ 时）：
     $$\ln (1-x)=-x-\frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{3}-\cdots$$
     代入 $x=\frac{\lambda }{n}$：
     $$\ln y=n\left(-\frac{\lambda }{n}-\frac{{\lambda }^2}{2n^2}-\frac{{\lambda }^3}{3n^3}-\cdots \right)=-\lambda -\frac{{\lambda }^2}{2n}-\frac{{\lambda }^3}{3n^2}-\cdots$$

  3. 当 $n$ 很大时，$\frac{{\lambda }^2}{2n},\frac{{\lambda }^3}{3n^2},\cdots$ 都趋近于 0：
     $$\ln y\approx -\lambda$$

  4. 因此：
     $$y={\left(1-\frac{\lambda }{n}\right)}^n\approx e^{-\lambda }$$

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  2. $\frac{n(n-1)\cdots (n-i+1)}{n^i}\approx 1$
     使用泰勒展开：$\ln (1-x)\approx -x$（当 $x$ 很小时）

  $$\begin{array}{rl}\ln \left[\frac{n(n-1)\cdots (n-i+1)}{n^i}\right]& =\sum _{k=0}^{i-1}\ln \left(1-\frac{k}{n}\right)\\ & \approx \sum _{k=0}^{i-1}\left(-\frac{k}{n}\right)\\ & =-\frac{1}{n}\sum _{k=0}^{i-1}k\\ & =-\frac{1}{n}\cdot \frac{(i-1)i}{2}\end{array}$$

  因此：
  $$\frac{n(n-1)\cdots (n-i+1)}{n^i}\approx e^{-\frac{i(i-1)}{2n}}$$

  当 $n$ 相对于 $i$ 很大时，$\frac{i(i-1)}{2n}\approx 0$，所以：
  $$e^{-\frac{i(i-1)}{2n}}\approx 1-\frac{i(i-1)}{2n}\approx 1$$

  ---

  3. ${\left(1-\frac{\lambda }{n}\right)}^i\approx 1$

  泰勒展开法：
  $${\left(1-\frac{\lambda }{n}\right)}^i=e^{i\ln (1-\frac{\lambda }{n})}\approx e^{i\left(-\frac{\lambda }{n}\right)}=e^{-\frac{i\lambda }{n}}$$

  当 $n$ 很大时，$\frac{i\lambda }{n}$ 很小，所以：
  $$e^{-\frac{i\lambda }{n}}\approx 1-\frac{i\lambda }{n}\approx 1$$

  二项展开法：
  $${\left(1-\frac{\lambda }{n}\right)}^i=1-i\frac{\lambda }{n}+\frac{i(i-1)}{2}{\left(\frac{\lambda }{n}\right)}^2-\cdots$$

  当 $n$ 很大时，$\frac{\lambda }{n}$ 很小，高阶项可以忽略，主要项是 $1-i\frac{\lambda }{n}$，而 $i\frac{\lambda }{n}$ 也很小，因此：
  $${\left(1-\frac{\lambda }{n}\right)}^i\approx 1$$

  $${\left(1-\frac{\lambda }{n}\right)}^n\approx e^{-\lambda },\frac{n(n-1)\cdots (n-i+1)}{n^i}\approx 1,{\left(1-\frac{\lambda }{n}\right)}^i\approx 1$$

• 因此：
  P{ X=i}≈e−λλii! P\{X=i\} \approx e^{-\lambda} \frac{\lambda^i}{i!} P{ X=i}≈e