概率论基础教程第4章 随机变量(五)

4.9 随机变量和的期望

期望的线性性质

期望的一个重要性质是：一组随机变量的和的期望等于这组随机变量各自期望的和。

在本节中，我们假设样本空间 $ S $ 是有限的或可数无限的，这简化了讨论并提供了直观的理解。

---

命题 9.1

对于随机变量 $ X $，其期望可表示为：
$$\boxed{E[X]=\sum _{s\in S}X(s)p(s)}$$
其中：

• $ s \in S $ 表示试验结果
• $ X(s) $ 表示当结果为 $ s $ 时随机变量 $ X $ 的取值
• $ p(s) = P({s}) $ 表示结果 $ s $ 发生的概率

证明：

设随机变量 $ X $ 的不同取值为 $ x_i $ ($ i \geq 1 $)，令 $ S_i = {s: X(s) = x_i} $ 表示 $ X $ 等于 $ x_i $ 的事件集合，则：

E[X]=∑ixiP{ X=xi}=∑ixiP(Si)=∑ixi∑s∈Sip(s)=∑i∑s∈Sixip(s)=∑i∑s∈SiX(s)p(s)=∑s∈SX(s)p(s) \begin{aligned} E[X] &= \sum_{i} x_i P\{X = x_i\} \\ &= \sum_{i} x_i P(S_i) \\ &= \sum_{i} x_i \sum_{s \in S_i} p(s) \\ &= \sum_{i} \sum_{s \in S_i} x_i p(s) \\ &= \sum_{i} \sum_{s \in S_i} X(s) p(s) \\ &= \sum_{s \in S} X(s) p(s) \end{aligned} E[X]​=i∑​xi​P{ X=xi​}=i∑​xi​P(Si​)=i∑​xi​s∈Si​∑​p(s)=i∑​s∈Si​∑​xi​p(s)=i∑​s∈Si​∑​X(s)p(s)=s∈S∑​X(s)p(s)​

---

推论 9.4

对于随机变量 $ X_1, X_2, \ldots, X_n $，有：
$$\boxed{E\left[\sum _{i=1}^n{X}_i\right]=\sum _{i=1}^{n}E[X_i]}$$

证明：

记 $ Z = \sum_{i=1}^{n} X_i $，由命题 9.1 可得：
$$\begin{array}{rl}E[Z]& =\sum _{s\in S}Z(s)p(s)\\ & =\sum _{s\in S}(X_1(s)+X_2(s)+\cdots +X_n(s))p(s)\\ & =\sum _{s\in S}{X}_1(s)p(s)+\sum _{s\in S}{X}_2(s)p(s)+\cdots +\sum _{s\in S}{X}_n(s)p(s)\\ & =E[X_1]+E[X_2]+\cdots +E[X_n]\end{array}$$

---

例题

例 9c：n 次掷骰子点数之和的期望

求 n 次掷骰子所得点数之和的期望。

• 令 $ X $ 表示点数之和，可表示为：
  $$X=\sum _{i=1}^n{X}_i$$
  其中 $ X_i $ 表示第 $ i $ 次掷骰子所得点数

• 因为 $ X_i $ 从 1 至 6 取值的概率相等：
  $$E[X_i]=\sum _{k=1}^{6}k\cdot \frac{1}{6}=\frac{21}{6}=\frac{7}{2}$$

• 由期望的线性性：
  $$E[X]=E\left[\sum _{i=1}^n{X}_i\right]=\sum _{i=1}^{n}E[X_i]=\frac{7n}{2}=3.5n$$

---

例 9d：n 次试验中成功总次数的期望

求 n 次试验中成功总次数的期望，设第 $ i $ 次试验成功的概率为 $ p_i $，$ i = 1, \ldots, n $。

• 定义指示变量：
  $$X_i=\{\begin{array}{ll}1& \text{第 }i\text{ 次试验成功}\\ 0& \text{第 }i\text{ 次试验失败}\end{array}$$

• 令 $ X = \sum_{i=1}^n X_i $ 表示成功总次数

• 由于 $ E[X_i] = P{X_i = 1} = p_i $，由期望的线性性：
  $$E[X]=\sum _{i=1}^{n}E[X_i]=\sum _{i=1}^n{p}_i$$

[!NOTE]
这个结果不要求这些试验是独立的。

• 对于二项随机变量（所有 $ p_i = p $），期望为 $ np $
• 对于超几何随机变量（从有 $ m $ 个白球的 $ N $ 个球中抽取 $ n $ 个），期望为 $ \frac{nm}{N} $

例 9e：成功试验次数的方差详解

我们需要计算 $ n $ 次试验中成功次数 $ X $ 的方差，其中第 $ i $ 次试验成功的概率为 $ p_i $。

第一步：建立模型

定义指示变量：
$$X_i=\{\begin{array}{ll}1& \text{第 }i\text{ 次试验成功}\\ 0& \text{第 }i\text{ 次试验失败}\end{array}$$

则成功总次数：
$$X=$$