概率论基础教程第六章随机变量的联合分布(一)

最新推荐文章于 2025-12-15 09:56:13 发布

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#概率论

第6章随机变量的联合分布

6.1 联合分布函数

联合分布函数用于多个随机变量同时出现的概率特性。

定义

联合分布

设 $ X $ 和 $ Y $ 是两个随机变量，其联合累积分布函数定义为：

$P\{X \leq a, Y \leq b\}, \quad -\infty < a, b < \infty$

该函数描述了 $ X $ 和 $ Y $ 同时不超过某个值的概率。

边缘分布

从联合分布可以导出单个变量的分布，称为边缘分布。

对于 $ X $：
$F_X(a) = P\{X \leq a\} = \lim_{b \to \infty} F(a, b) \equiv F(a, \infty)$
对于 $ Y $：
$F_Y(b) = P\{Y \leq b\} = \lim_{a \to \infty} F(a, b) \equiv F(\infty, b)$

理论上，所有涉及 $ X $ 和 $ Y $ 的联合概率都可以通过 $ F(a,b) $ 求解。

例如，求 $ P{X > a, Y > b} $：

$\begin{array}{rcl} P\{X > a, Y > b\} & = & 1 - P\left(\{X > a, Y > b\}^c\right) \\ & = & 1 - P\left(\{X \leq a\} \cup \{Y \leq b\}\right) \\ & = & 1 - \left[P\{X \leq a\} + P\{Y \leq b\} - P\{X \leq a, Y \leq b\}\right] \\ & = & 1 - F_X(a) - F_Y(b) + F(a, b) \end{array} \tag{1.1}$

更一般地，对于区间概率：

$P\{a_1 \leq X \leq a_2, b_1 \leq Y \leq b_2\} = F(a_2, b_2) + F(a_1, b_1) - F(a_1, b_2) - F(a_2, b_1) \tag{1.2}$
其中 $ a_1 \leq a_2, b_1 \leq b_2 $。

联合分布列

当 $ X $ 和 $ Y $ 均为离散型时，定义其联合概率质量函数（joint PMF）为：

$p(x, y) = P\{X = x, Y = y\}$

边缘分布列由求和得到：

$ p_X(x) = P{X = x} = \sum_{y: p(x,y)>0} p(x,y) $
$ p_Y(y) = P{Y = y} = \sum_{x: p(x,y)>0} p(x,y) $

这些称为边缘分布列（marginal PMF），因其在联合分布表中位于“边缘”位置。

例 1a：抽球问题

坛中有 3 红球、4 白球、5 蓝球，从中随机抽取 3 个球。令 $ X $：红球数，$ Y $：白球数。

计算联合分布列 $ p(i,j) = P(X=i, Y=j) $，使用超几何模型：

$\frac{\binom{3}{i} \binom{4}{j} \binom{5}{3-i-j}}{\binom{12}{3}}, \quad \text{其中 } i+j \leq 3$

具体计算如下：

$ i \backslash j $	0	1	2	3	行和 $ = P(X=i) $
0	$ \frac{10}{220} $	$ \frac{40}{220} $	$ \frac{30}{220} $	$ \frac{4}{220} $	$ \frac{84}{220} $
1	$ \frac{30}{220} $	$ \frac{60}{220} $	$ \frac{18}{220} $	0	$ \frac{108}{220} $
2	$ \frac{15}{220} $	$ \frac{12}{220} $	0	0	$ \frac{27}{220} $
3	$ \frac{1}{220} $	0	0	0	$ \frac{1}{220} $
列和 $ = P(Y=j) $	$ \frac{56}{220} $	$ \frac{112}{220} $	$ \frac{48}{220} $	$ \frac{4}{220} $

例 1b：家庭孩子性别分布

某社区家庭子女分布：

无孩：15%
1孩：20%
2孩：35%
3孩：30%

每个孩子为男孩或女孩的概率均为 $ \frac{1}{2} $，且独立。

令 $ B $：男孩数，$ G $：女孩数。

计算联合分布列 $ P(B=i, G=j) $：

$ P(B=0, G=0) = P(\text{无孩}) = 0.15 $
$ P(B=0, G=1) = P(1\text{孩}) \cdot P(\text{女孩}) = 0.20 \times \frac{1}{2} = 0.10 $
$ P(B=0, G=2) = P(2\text{孩}) \cdot P(\text{两女}) = 0.35 \times \left(\frac{1}{2}\right)^2 = 0.0875 $
$ P(B=0, G=3) = 0.30 \times \left(\frac{1}{2}\right)^3 = 0.0375 $

其余类似（如 $ P(B=1,G=1) = 0.20 \times \frac{1}{2} = 0.10 $，$ P(B=2,G=0) = 0.35 \times \frac{1}{4} = 0.0875 $，等等）

结果见下表：

$ i \backslash j $	0	1	2	3	$ P(B=i) $
0	0.15	0.10	0.0875	0.0375	0.3750
1	0.10	0.175	0.1125	0	0.3875
2	0.0875	0.1125	0	0	0.2000
3	0.0375	0	0	0	0.0375
$ P(G=j) $	0.375	0.3875	0.2000	0.0375

联合密度函数

若存在非负函数 $ f(x,y) $，使得对任意二维区域 $ C $ 有：

$P\{(X,Y) \in C\} = \iint_{(x,y)\in C} f(x,y)\,dx\,dy \tag{1.3}$

则称 $ X,Y $ 为联合连续型随机变量，$ f(x,y) $ 为联合概率密度函数。

特别地，若 $ A,B $ 为实数集，则：

$P\{X \in A, Y \in B\} = \int_B \int_A f(x,y)\,dx\,dy \tag{1.4}$

由联合密度求联合分布函数
$P\{X \leq a, Y \leq b\} = \int_{-\infty}^b \int_{-\infty}^a f(x,y)\,dx\,dy$

若偏导数存在，则：

$\frac{\partial^2}{\partial a \partial b} F(a,b)$

直观理解密度函数

对于很小的 $ da, db $，有：

$P\{a < X < a+da, b < Y < b+db\} \approx f(a,b)\,da\,db$

即 $ f(a,b) $ 反映了 $ (X,Y) $ 在点 $ (a,b) $ 附近取值的“可能性密度”。

边缘密度函数

$ X $ 的边缘密度：
$f_X(x) = \int_{-\infty}^{\infty} f(x,y)\,dy$
$ Y $ 的边缘密度：
$f_Y(y) = \int_{-\infty}^{\infty} f(x,y)\,dx$

例 1c：指数型联合密度

设 $ X,Y $ 的联合密度为：

$\begin{cases} 2e^{-x}e^{-2y}, & x > 0, y > 0 \\ 0, & \text{否则} \end{cases}$

求：

(a) $ P(X > 1, Y < 1) $
$\begin{aligned} P(X > 1, Y < 1) &= \int_0^1 \int_1^\infty 2e^{-x}e^{-2y}\,dx\,dy \\ &= \int_0^1 2e^{-2y} \left[ -e^{-x} \right]_1^\infty dy = \int_0^1 2e^{-2y} e^{-1} dy \\ &= e^{-1} \int_0^1 2e^{-2y} dy = e^{-1}(1 - e^{-2}) \end{aligned}$