概率论基础教程第3章条件概率与独立性(一)

第3章 条件概率和独立性

3.1 条件概率

定义

我们从一个直观例子开始：同时掷两枚骰子，样本空间共36种等可能结果。若已知第一枚点数为3，则可能结果变为 (3,1) 到 (3,6) 共6种。此时两枚点数之和为8的概率是1/6，因为只有 (3,5) 满足条件。这一概率是在“第一枚为3”的条件下计算的，称为条件概率。

令 $ E $ 表示“点数之和为8”，$ F $ 表示“第一枚为3”。由于 $ F $ 发生后，样本空间缩小为 $ F $ 中的6个点，而 $ E $ 与 $ F $ 同时发生的结果只有 (3,5)，即 $ EF $，因此条件概率应为 $ P(EF)/P(F) $。

由此引出定义：若 $ P(F) > 0 $，则

$$P(E|F)=\frac{P(EF)}{P(F)}$$

这是条件概率的数学定义。它表明，在 $ F $ 发生的前提下，$ E $ 发生的概率等于 $ EF $ 的概率除以 $ F $ 的概率。

由该定义可得乘法公式：

$$P(EF)=P(F)P(E|F)$$

此式在计算交事件概率时非常有用。它可以推广到多个事件的情形，称为乘法规则：

$$P(E_1{E}_2\cdots E_n)=P(E_1)P(E_2|E_1)P(E_3|E_1{E}_2)\cdots P(E_n|E_1\cdots E_{n-1})$$

证明：将右边展开，

$$P(E_1)\cdot \frac{P(E_1{E}_2)}{P(E_1)}\cdot \frac{P(E_1{E}_2{E}_3)}{P(E_1{E}_2)}\cdots \frac{P(E_1\cdots E_n)}{P(E_1\cdots E_{n-1})}=P(E_1{E}_2\cdots E_n)$$

分子分母相消即得左边。

例题

例2a：乔伊80%确信钥匙在左或右口袋，左、右各40%。若检查左口袋未找到，则钥匙在右口袋的条件概率为：

令 $ L $：钥匙在左口袋，$ R $：在右口袋，

$$P(R|L^c)=\frac{P(R{L}^c)}{P(L^c)}=\frac{P(R)}{1-P(L)}=\frac{0.4}{0.6}=\frac{2}{3}$$

例2b：抛硬币两次，样本空间 $ {(H,H),(H,T),(T,H),(T,T)} $ 等可能。

(a) 已知第一枚正面，求两枚都正面的概率：

令 $ B = {(H,H)} $，$ F = {(H,H),(H,T)} $，

$$P(B|F)=\frac{P(BF)}{P(F)}=\frac{1/4}{2/4}=\frac{1}{2}$$

(b) 已知至少一枚正面，求两枚都正面的概率：

令 $ A = {(H,H),(H,T),(T,H)} $，

$$P(B|A)=\frac{P(BA)}{P(A)}=\frac{1/4}{3/4}=\frac{1}{3}$$

例2c：桥牌中，52张牌均分四家。若南和北共有8张黑桃，则剩余26张牌中有5张黑桃，分给东西两家。求东有其中3张的条件概率：
$$\frac{\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{3}\right)\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{21}{10}\right)}{\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{26}{13}\right)}\approx 0.339$$

例2d：席琳以掷硬币决定选课，选化学概率 $ 1/2 $。若选化学，获“A”概率 $ 2/3 $。求她选化学且获“A”的概率：

令 $ C $：选化学，$ A $：获“A”，

$$P(CA)=P(C)P(A|C)=\frac{1}{2}\times \frac{2}{3}=\frac{1}{3}$$

例2e：坛中有8红4白球，无放回取两球。

(a) 各球等可能被取：

令 $ R_1, R_2 $ 为第一次、第二次取红球，

$$P(R_1)=\frac{8}{12}=\frac{2}{3},P(R_2|R_1)=\frac{7}{11}$$