概率论基础教程第3章条件概率与独立性(二)

3.3 独立事件

定义

在概率论中，已知事件 $F$ 发生的条件下，事件 $E$ 发生的条件概率 $P(E|F)$ 通常不等于 $E$ 发生的非条件概率 $P(E)$。这意味着知道 $F$ 发生通常会改变 $E$ 发生的概率。但在某些特殊情况下，$P(E|F)$ 确实等于 $P(E)$，此时我们称事件 $E$ 和 $F$ 是独立的。

由于 $P(E|F)=\frac{P(EF)}{P(F)}$，当且仅当
$$P(EF)=P(E)P(F)\text{\hspace{1em}(4.1)}$$
时，$E$ 和 $F$ 独立。因为公式(4.1)关于 $E$ 和 $F$ 是对称的，所以如果 $E$ 和 $F$ 独立，则 $F$ 和 $E$ 也独立。

定义：对于两个事件 $E$ 和 $F$，若公式(4.1)成立，则称它们是独立的(independent)。若两个事件 $E$ 和 $F$ 不独立，则称它们是相依的(dependent)，或相互不独立。

例 4a：从一副洗好的 52 张扑克牌里随机抽取一张牌。令 $E$ 表示"抽取的牌为一张 A"，令 $F$ 表示"抽取的牌为一张黑桃"。则：

• $P(EF)=\frac{1}{52}$
• $P(E)=\frac{4}{52}=\frac{1}{13}$
• $P(F)=\frac{13}{52}=\frac{1}{4}$

由于 $P(E)P(F)=\frac{1}{13}\times \frac{1}{4}=\frac{1}{52}=P(EF)$，因此 $E$ 和 $F$ 是独立的。

例 4b：掷两枚硬币，假设全部 4 个结果出现的可能性相同。令 $E$ 表示"第一枚硬币正面朝上"，令 $F$ 表示"第二枚硬币反面朝上"。则：

• $P(EF)=P(\{(H,T)\})=\frac{1}{4}$
• $P(E)=P(\{(H,H),(H,T)\})=\frac{1}{2}$
• $P(F)=P(\{(H,T),(T,T)\})=\frac{1}{2}$

由于 $P(E)P(F)=\frac{1}{2}\times \frac{1}{2}=\frac{1}{4}=P(EF)$，因此 $E$ 和 $F$ 是独立的。

例 4c：掷两枚均匀的骰子，令 $E_1$ 表示"骰子点数之和为 6"，令 $F$ 表示"第一枚骰子点数为 4"。则：

• $P(E_{1}F)=P(\{(4,2)\})=\frac{1}{36}$