【概率论与数理统计】第一章：概率论基本概念

确定现象：磁极同性相斥
随机现象：在单次实验结果中呈现出不确定性，在大量重复试验中其结果又具有统计规律性的现象。

 

一. 随机试验

以上都是随机现象，对随机现象进行观察或实验称为随机试验。

随机试验具有如下特点：

• 可以在相同条件下重复进行
• 所得的可能结果不止一个，且所有可能结果事先已知
• 每次具体试验之前无法预知会出现哪个结果。

 

二. 随机事件

1. 样本空间

我们将随机试验E的所有可能结果组成的集合称为E的样本空间，记为S。样本空间的元素，即E的每个结果，称为样本点。

 

2. 随机事件：样本的子集

称试验E的样本空间S的子集为E的随机事件 ，简称事件。在每次试验中，当且仅当这一子集中的一个样本点出现时，称这一事件发生。

特别的，由一个样本点组成的单点集，称为基本事件。

事件例子：

 

3. 事件间的关系与事件的运算

3.1. 事件间的关系：包含、相等

 

3.2. 事件的运算：和、差、积

 

事件的关系

 

3.3. 事件运算律

 

三. 概率

1. 概率

• 概率是一种理论推导的数学概念，基于假设和定义；而频率是通过实验或实际观察数据获得的经验性结果。
• 当n->∞时频率在一定意义下接近于概率。

1.1. 概率公理

 

1.2. 概率性质

 

四. 等可能概率（古典概型）

1.1. 概念

具有以下两个特点的试验称为等可能概型.

1. 试验的样本空间只包含有限个元素.
2. 试验中每个基本事件发生的可能性相同.

 

1.2. 例题

1. 投硬币

• 投三次的样本空间：$2^3$种情况
• 事件$A_1$的事件情况
• （2）找到互斥事件。

 

2. 小球放入盒子

一个基本事件一个基本事件的考虑：第一次有N种可能，第二次有N-1种可能，，，就是$A_N^n$
注意此时是有顺序的，第一次放的位置，会决定下一次放的位置

 

3. 超几何分布概率

1. 事件：取k件次品，那剩下n-k是正品是一个事件，则有$C_D^k{C}_{N-D}^{n-k}$。
2. 样本空间：取n件是的操作是样本空间，自然有$C_N^n$

所以对于等概率事件来说，概率就是：$p=C_D^k{C}_{N-D}^{n-k}/C_N^n$。

组合的原因：考虑的是k件次品，而不是这k件次品如何排列。

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考虑组合的情况

 

4. 概率性质的应用

 

5. 分班

 

6. 怀疑假设的正确性

 

五. 条件概率

1.定义

P(AB)：AB同时发生的概率：
P(A):A发生的概率。

条件概率的计算方法

 

2. 乘法定理

 

3. 全概率公式和贝叶斯公式

3.1. 样本空间的划分

 

3.2. 全概率公式

 

3.3. 贝叶斯

常用公式

 

3.3. 习题

1. 次品率

 

2. 患癌概率

分清楚事件、和样本划分：吸烟和不吸烟。
患癌：C
吸烟者：A
吸烟患癌：C|A

 

3. 机器运行

 

4. 患癌

 

六. 事件独立性

1. 定义

 

如下例子：

 

2. 定理

 

加法公式+独立性
注意把$A_1{A}_2$先看成一个整体

 

七. 其他

1. 五大公式

 

2. 几何型概率

 

3. 伯努利实验