概率论基础教程第2章概率论公理(习题和解答)

最新推荐文章于 2025-12-07 12:04:56 发布

原创

最新推荐文章于 2025-12-07 12:04:56 发布 · 1k 阅读

18 ·

CC 4.0 BY-SA版权

文章标签：

#概率论

习题

2.1

题目：一个盒子里有3个弹珠，红、绿和蓝各一个。先从中取出一个，再放回，然后再取出一个，试描述此样本空间。如果不放回呢？

答案：

(a) 有放回抽取的样本空间：
$S = \{(r,r), (r,g), (r,b), (g,r), (g,g), (g,b), (b,r), (b,g), (b,b)\}$
(b) 无放回抽取的样本空间：
$S = \{(r,g), (r,b), (g,r), (g,b), (b,r), (b,g)\}$

2.2

题目：连续掷一枚骰子，直到6出现，试验停止，试描述此样本空间。令 $E_n$ 表示"在试验停止时，一共掷了 $n$ 次"，那么样本空间的哪些结果包含在 $E_n$ 中？ $(⋃n=1∞En)c\left(\bigcup_{n=1}^{\infty} E_n\right)^c$ 的含义？

答案：

样本空间：
$\{(n, x_1, \ldots, x_{n-1}) \mid n \geq 1, x_i \neq 6, i = 1, \ldots, n-1\}$
其中结果 $x_1, \ldots, x_{n-1})$ 表示第一次出现6是在第 $n$ 次投掷，且前 $n - 1$ 次投掷结果分别为 $x1,…,xn−1x_1, \ldots, x_{n-1}$ 。
$E_n$ 包含的结果：第一次出现6是在第 $n$ 次投掷，且前 $n - 1$ 次都不是6。
$(⋃n=1∞En)c\left(\bigcup_{n=1}^{\infty} E_n\right)^c$ 表示6永远不出现的事件。

2.3

题目：掷两枚骰子，令 $E$ 表示事件"骰子的点数之和为奇数"，令 $F$ 表示"至少有一枚骰子的点数为 1"；令 $G$ 表示"骰子的点数之和为 5"。试描述事件 $EF$ ， $\cup F$ ， $FG$ ， $EF^c$ 和 $EFG$ 。

答案：

$EF = \{(1,2), (1,4), (1,6), (2,1), (4,1), (6,1)\}$
$\cup F$ ：点数和为奇数或至少有一个骰子是1
$FG = \{(1,4), (4,1)\}$
$EF^c$ ：没有骰子是1且点数和为奇数
$EFG = FG = \{(1,4), (4,1)\}$

2.4

题目：A, B, C三人轮流掷硬币，第一次出现正面朝上者为胜，我们用 0 表示"正面朝下"，1 表示"正面朝上"，试验的样本空间可表示为
$\{1, 01, 001, 0001, \ldots\} \cup \{0000\ldots\}$

(a) 试解释此样本空间
(b) 用样本空间 $S$ 表示以下事件：
- (i) A 胜了(记为 $A$ )
- (ii) B 胜了(记为 $B$ )
- (iii) $\cup B)^c$

答案：

(a) 样本空间 $S$ 表示所有可能的投掷序列，其中1表示第一次投掷就出现正面，01表示第一次投掷反面第二次投掷正面，以此类推。 $0000…0000\ldots$ 表示永远不出现正面的序列。
(b)
- (i) $\{1, 0001, 0000001, \ldots\}$ （A在第1, 4, 7, …次投掷获胜）
- (ii) $\{01, 00001, 00000001, \ldots\}$ （B在第2, 5, 8, …次投掷获胜）
- (iii) $\cup B)^c = \{0000\ldots, 001, 000001, \ldots\}$ （C获胜或永远不出现正面）

2.5

题目：一个系统包含5个元件，每个元件或者是好的或者是坏的。如果试验是观察各个元件的状态，用向量 $x_1, x_2, x_3, x_4, x_5)$ 表示试验结果，其中 $x_i = 1$ 表示第 $i$ 个元件是好的， $x_i = 0$ 表示第 $i$ 个元件是坏的。

(a) 样本空间中一共有多少种结果？
(b) 如果元件 1 和 2 是好的，或者元件 3 和 4 是好的，或者元件 1, 3 和 5 都是好的，那么系统工作正常。令 $W$ 表示系统工作正常，写出 $W$ 包含的所有结果。
© 令 $A$ 表示元件 4 和 5 都是坏的，那么 $A$ 中一共有多少种结果？
(d) 写出事件 $A W$ 的所有结果。

答案：

(a) $2^5 = 32$ 种结果
(b) $W = \{(1,1,0,0,0), (1,1,0,0,1), (1,1,0,1,0), (1,1,0,1,1), (1,1,1,0,0), (1,1,1,0,1), (1,1,1,1,0), (1,1,1,1,1), (0,0,1,1,0), (0,0,1,1,1), (1,0,1,0,1)\}$
© $A$ 中有 $2^3 = 8$ 种结果（因为元件4和5固定为0，其他3个元件各有2种状态）
(d) $AW = \{(1,1,0,0,0), (1,1,1,0,0)\}$

2.6

题目：医院管理系统对前来治疗的受枪伤病人进行编号，其依据为是否买了保险（如果买了保险，则记为 1，否则记为 0）以及他们的身体状况（如果良好，就记为 g，如果一般，就记为 f，如果严重，就记为 s）。试验是观察病人的编号。

(a) 给出试验的样本空间
(b) 令 $A$ 表示"病人病情很严重"，列出 $A$ 中的所有结果
© 令 $B$ 表示"病人没有买保险"，列出 $B$ 中的所有结果
(d) 列出事件 $\cup A$ 中的所有结果

答案：

(a) $S = \{(1,g), (0,g), (1,f), (0,f), (1,s), (0,s)\}$
(b) $A = \{(1,s), (0,s)\}$
© $B = \{(0,g), (0,f), (0,s)\}$
(d) $\cup A = \{(1,s), (0,s), (0,g), (0,f)\}$

2.7

题目：试验是调查一个业余足球队里15名球员的工作（是蓝领还是白领）和政治面貌（是共和党、民主党还是无党派）。

(a) 样本空间中一共多少结果？
(b) "至少有一个队员是蓝领"的事件中有多少结果？
© "队员里没有人是无党派人士"的事件中有多少结果？

答案：

(a) 每个球员有 $\times 3 = 6$ 种可能，所以样本空间有 $6^{15}$ 种结果
(b) “至少有一个队员是蓝领” = $6^{15} - 3^{15}$ （总结果减去全是白领的结果）
© “队员里没有人是无党派人士”：每个球员有 $\times 2 = 4$ 种可能，所以有 $4^{15}$ 种结果

2.8

题目：设事件 $A$ 和 $B$ 是互不相容的，且 $P (A) = 0.3$ ， $P (B) = 0.5$ ，求以下事件的概率。

(a) $A$ 或者 $B$ 发生
(b) $A$ 发生但 $B$ 不发生
© $A$ 和 $B$ 都发生

答案：

(a) $\cup B) = P(A) + P(B) = 0.3 + 0.5 = 0.8$
(b) $\cap B^c) = P(A) = 0.3$ （因为 $A$ 和 $B$ 互不相容）
© $\cap B) = 0$ （因为 $A$ 和 $B$ 互不相容）

2.9

题目：某零售店既接受运通卡也接受维萨卡。它的顾客中有 24% 的人持有运通卡，有 61% 的人持有维萨卡，11% 的人持有两种卡，问至少持有一张卡的顾客百分比是多少？

答案：
设 $A$ 表示持有运通卡的事件， $V$ 表示持有维萨卡的事件。
$\cup V) = P(A) + P(V) - P(A \cap V) = 0.24 + 0.61 - 0.11 = 0.74$
所以至少持有一张卡的顾客百分比是 74%。

2.10

题目：某个学校有 60% 的学生既不戴耳环又不戴项链，有 20% 的学生戴耳环，有 30% 的学生戴项链。如果随机挑一个学生，求符合以下条件的概率：

(a) 戴耳环或者项链
(b) 既戴耳环也戴项链

答案：
设 $R$ 表示戴耳环的事件， $N$ 表示戴项链的事件。

(a) $\cup N) = 1 - P((R \cup N)^c) = 1 - 0.6 = 0.4$
(b) $\cup N) = P(R) + P(N) - P(R \cap N)$
$\cap N)$
$\cap N) = 0.1$

2.11

题目：美国男性中有 28% 的人抽烟，7% 的人抽雪茄，5% 的人既抽烟也抽雪茄。

(a) 既不抽烟也不抽雪茄的男性百分比是多少？
(b) 只抽雪茄但不抽烟的男性百分比是多少？

答案：
设 $A$ 表示抽烟的事件， $B$ 表示抽雪茄的事件。

(a) $\cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) = 0.28 + 0.07 - 0.05 = 0.30$
$\cup B)^c) = 1 - 0.30 = 0.70$ ，所以是 70%
(b) $P(Ac∩B)=P(B)−P(A∩B)=0.07−0.05=0.02P(A^c \cap B) = P(B) - P(A \cap B) = 0.07 - 0.05 = 0.02$ ，所以是 2%

2.12

题目：某所小学有三个语言班：一个是西班牙语班，一个是法语班，还有一个是德语班。这些语言班对学校里的 100 个学生开放，有 28 人参加西班牙语班，有 26 人参加法语班，有 16 人参加德语班。有 12 人既参加西班牙语班也参加法语班，有 4 人既参加西班牙语班也参加德语班，有 6 人既参加法语班也参加德语班。另外，有 2 人三个班都参加。

(a) 随机选一名学生，他不参加任何班的概率是多大？
(b) 随机选一名学生，他恰好参加一个班的概率是多大？

答案：
设 $S$ 表示参加西班牙语班， $F$ 表示参加法语班， $G$ 表示参加德语班。

(a) $\cup F \cup G| = 28 + 26 + 16 - 12 - 4 - 6 + 2 = 50$
不参加任何班的学生有 50 人，概率 = $50/100 = 0.5$
(b) 恰好参加一个班的人数：
- 只参加 $S$ ： $28 - 12 - 4 + 2 = 14$
- 只参加 $F$ ： $26 - 12 - 6 + 2 = 10$
- 只参加 $G$ ： $16 - 4 - 6 + 2 = 8$
  总计 32 人，概率 = $32/100 = 0.32$
© 不参加任何班的学生有 50 人。
两人都不参加语言班的概率 = $(502)/(1002)=49/198\binom{50}{2}/\binom{100}{2} = 49/198$
至少有一人参加语言班的概率 = $1 - 49/198 = 149/198$

2.13

题目：某个人口规模为 100,000 的城市有三份报纸 I、II 和 III，以下是对读报人群比例的调查结果：
I: 10%；I 和 II: 8%；I、II 和 III: 1%；
II: 30%；I 和 III: 2%；
III: 5%；II 和 III: 4%。

(a) 求仅仅读一份报纸的人数
(b) 有多少人至少读两份报纸？
(d) 有多少人不读报纸？
(e) 有多少人仅读一份早报和一份晚报？

答案：
设 $I$ 表示读报纸 I， $II$ 表示读报纸 II， $III$ 表示读报纸 III。

(a) 仅仅读一份报纸：
- 只读 I： $0.1 - 0.08 - 0.02 + 0.01 = 0.01$ → 1,000 人
- 只读 II： $0.3 - 0.08 - 0.04 + 0.01 = 0.19$ → 19,000 人
- 只读 III： $0.05 - 0.02 - 0.04 + 0.01 = 0.00$ → 0 人
  总计 20,000 人
(b) 至少读两份报纸： $\times 0.01 = 0.12$ → 12,000 人
(d) 不读报纸： $1 - (0.1 + 0.3 + 0.05 - 0.08 - 0.02 - 0.04 + 0.01) = 0.68$ → 68,000 人
(e) 仅读一份早报和一份晚报：
- 读 I 和 II，但不读 III： $0.08 - 0.01 = 0.07$ → 7,000 人
- 读 III 和 II，但不读 I： $0.04 - 0.01 = 0.03$ → 3,000 人
  总计 10,000 人

2.14

题目：对某份杂志的 1000 名订阅者的调查给出了如下数据：关于工作、婚姻和教育状况，有 312 名专业人士，470 名已婚人士，525 名大学毕业生，42 名大学毕业的专业人员，147 名已婚大学毕业生，86 名已婚专业人员，25 名已婚且大学毕业的专业人员。证明这些数据是不正确的。

答案：
设 $M, W, G$ 分别表示专业人员、已婚人士及大学毕业生的集合。
$\cup W \cup G) = 0.312 + 0.470 + 0.525 - 0.086 - 0.042 - 0.147 + 0.025 = 1.057 > 1$
概率不可能大于 1，因此这些数据不正确。

2.15

题目：从 52 张牌里随机取 5 张，求以下事件概率：

(a) 同花（即 5 张牌同一花色）
(b) 一对（5 张牌为 a, a, b, c, d 形式，其中 a, b, c, d 各不相同）
(d) 三张一样（5 张牌为 a, a, a, b, c 形式，其中 a, b, c 各不相同）
(e) 四张一样（5 张牌为 a, a, a, a, b 形式，其中 a, b 不相同）

答案：
总可能结果： $(525)\binom{52}{5}$

(a) $P(同花)=4×(135)(525)P(\text{同花}) = \dfrac{4 \times \binom{13}{5}}{\binom{52}{5}}$
(b) $P(一对)=13×(42)×(123)×43(525)P(\text{一对}) = \dfrac{13 \times \binom{4}{2} \times \binom{12}{3} \times 4^3}{\binom{52}{5}}$

最低0.47元/天解锁文章