概率论基础教程第1章组合分析

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#概率论

第1章组合分析

1.1 引言

组合分析是概率论中用于计算事件发生方式数目的基础工具。
许多概率问题可通过以下方式求解：
$\text{概率} = \frac{\text{有利结果的数目}}{\text{所有可能结果的数目}}$

示例：通信系统有效性

$ n $ 个天线排成一行，恰好 $ m $ 个失效；
系统有效当且仅当没有两个失效天线相邻；
求系统有效的概率。

特例：$ n = 4, m = 2 $

所有可能的失效位置组合数为：
$\binom{4}{2} = 6$
所有配置：
```
1100, 1010, 1001, 0110, 0101, 0011
```
判断是否有效（无相邻0）：
- 有效：1010, 0110, 0101 → 3种
- 无效：其余3种
概率：
$\frac{3}{6} = \frac{1}{2}$

此问题表明：精确计数是解决概率问题的关键，引出组合分析的重要性。

1.2 计数基本法则

基本计数法则

若试验1有 $ m $ 种可能结果，
且对试验1的每一个结果，试验2有 $ n $ 种可能结果，
则这两个试验联合共有 $ m \times n $ 种可能结果。

证明思路

所有结果可表示为有序对 $ (i, j) $，其中：

$ i = 1, 2, …, m $
$ j = 1, 2, …, n $

形成 $ m \times n $ 的矩阵，总结果数为 $ m \times n $。

推广的计数基本法则

若有 $ r $ 个试验，且：

试验1有 $ n_1 $ 种结果，
对试验1的每种结果，试验2有 $ n_2 $ 种结果，
对前两个试验的每种组合，试验3有 $ n_3 $ 种结果，
……
则总共有：

$n_1 \times n_2 \times \cdots \times n_r$

种可能的结果。

例题整理

例2a

题目：10位妇女，每位有3个孩子。现要选出一位妇女及其一个孩子作为“年度母亲和儿童”，问有多少种选法？

解：

试验1：选妇女 → 10种选择；
试验2：在其孩子中选1个 → 3种选择；
根据基本计数法则，总数为：
$10 \times 3 = 30$

答案：30种选法。

例2b

题目：委员会由3名大一、4名大二、5名大三、2名大四学生组成。从中选4人组成分委员会，每人来自不同年级，问有多少种选法？

解：

每个年级选1人：
- 大一：3种选择
- 大二：4种选择
- 大三：5种选择
- 大四：2种选择
应用推广的计数法则：
$\times 4 \times 5 \times 2 = 120$

答案：120种不同的分委员会。

例2c

题目：7位车牌号，前3位为字母（A–Z），后4位为数字（0–9）。问共有多少种不同的车牌号？

解：

字母部分：每位26种选择 → $ 26 \times 26 \times 26 $
数字部分：每位10种选择 → $ 10 \times 10 \times 10 \times 10 $
总数：
$26^3 \times 10^4 = 175760000$

答案：175,760,000 种。

例2d

题目：定义在 $ n $ 个点上的函数，每个点的函数值只能是0或1，问这样的函数有多少个？

解：

每个点 $ i \in {1,2,\dots,n} $，$ f(i) $ 有两种取值：0 或 1；
每个点独立选择，共 $ n $ 个选择步骤；
总函数数：
$2^n$

答案：共有 $ 2^n $ 个这样的函数。

例2e

题目：同例2c，但要求字母不重复、数字不重复，问有多少种车牌号？

解：

前三位字母（从26个中不重复选取）：
- 第1位：26种
- 第2位：25种
- 第3位：24种
后四位数字（从10个数字中不重复选取）：
- 第1位：10种
- 第2位：9种
- 第3位：8种
- 第4位：7种
总数：
$26 \times 25 \times 24 \times 10 \times 9 \times 8 \times 7 = 78,624,000$

答案：78,624,000 种。

1.3 排列

排列（Permutation）是指将一组元素按一定顺序进行排列的方式，不同顺序视为不同的排列。

基本结论

$ n $ 个互不相同元素的全排列数为：
$\times (n-1) \times \cdots \times 2 \times 1$
规定：$ 0! = 1 $

示例：字母 a, b, c 的排列

所有可能排列为：
abc, acb, bac, bca, cab, cba → 共 $ 3! = 6 $ 种。

通过计数基本法则解释：

第一个位置有 3 种选择；
第二个位置剩下 2 种；
第三个位置只剩 1 种；
总数：$ 3 \times 2 \times 1 = 6 $

例 3a

一个有 9 名队员的垒球队可能有多少种不同的击球顺序？

解：即 9 个不同人的全排列：
$9! = 362880$

例 3b

某概率论班共有 6 名男生、4 名女生，有次测验是根据他们的表现来排名次，假设没有两个学生成绩一样。
(a) 一共有多少种可能的名次？
(b) 如果限定男生和女生分开排名次，那么一共有多少种可能的名次？

解：
(a) 每种名次对应 10 个人的一个排列，总数为：
$3\,628\,800$
(b) 男生内部排名有 $6!$ 种，女生内部有 $4!$ 种，由计数基本法则：
$\times 4! = 720 \times 24 = 17\,280$

例 3c

Jones 女士要把 10 本书放到书架上，其中有 4 本数学书、3 本化学书、2 本历史书和 1 本语文书。如果相同学科的所有图书都必须放在一起，那么一共可能有多少种放法？

解：

四类书作为一个整体，其排列顺序有 $4!$ 种；
每类书内部排列：
- 数学： $4!$
- 化学： $3!$
- 历史： $2!$
- 语文： $1!$
总数为：
$\times (4! \times 3! \times 2! \times 1!) = 24 \times (24 \times 6 \times 2 \times 1) = 6912$

例 3d

用 6 个字母 PEPPER 进行排列，一共有多少种不同的排列方式？

解：
若所有字母可区分，总排列数为 $6!$ 。但由于：

P 出现 3 次 → 重复 $3!$ 次
E 出现 2 次 → 重复 $2!$ 次
R 出现 1 次
实际不同排列数为：

$\frac{6!}{3! \times 2! \times 1!} = \frac{720}{6 \times 2} = 60$

推广：若 $ n $ 个元素中有 $ n_1, n_2, \dots, n_r $ 个相同类别的元素，则不同排列数为：
$\frac{n!}{n_1! \, n_2! \, \cdots \, n_r!}$

例 3e

一个棋类比赛一共有 10 个选手，其中 4 个来自俄罗斯，3 个来自美国，2 个来自英国，1 个来自巴西。如果比赛结果只记录选手的国籍，那么一共有多少种可能的结果？

解：
相当于对多重复元素的排列：
$\frac{10!}{4! \times 3! \times 2! \times 1!} = \frac{3\,628\,800}{24 \times 6 \times 2 \times 1} = 12\,600$

例 3l

将 9 面小旗排列在一条直线上，其中 4 面白色、3 面红色、2 面蓝色，且颜色相同的旗完全一样。如果不同的排列方式代表不同的信号，那么这 9 面旗一共可组成多少种不同的信号？

解：
$\frac{9!}{4! \times 3! \times 2!} = \frac{362880}{24 \times 6 \times 2} = \frac{362880}{288} = 1260$

1.4 组合

从 $ n $ 个元素中取 $ r $ 个组成一组，不考虑顺序，这样的组称为一个组合。

我们用 $ C_n^r $ 表示从 $ n $ 个不同元素中取 $ r $ 个的组合数，即：
$C_n^r = \binom{n}{r} = \frac{n!}{(n - r)! \, r!}$

推导

若考虑顺序，选法为：
$n(n-1)\cdots(n-r+1) = \frac{n!}{(n - r)!}$
但每个 $ r $ 元素组被重复计算了 $ r! $ 次（其内部排列数），故不考虑顺序时：
$C_n^r = \frac{n!}{(n - r)! \, r!}$

性质

$ C_n^0 = C_n^n = 1 $
当 $ r > n $ 或 $ r < 0 $ 时，定义 $ C_n^r = 0 $
$ C_n^r = C_n^{n - r} $

例 4a

从 20 人当中选 3 人组成委员会，可能有多少种不同的委员会？

解：
$C_{20}^3 = \frac{20 \times 19 \times 18}{3 \times 2 \times 1} = 1140$

例 4b

一个团体共有 12 人，其中 5 ····位女士，7 位男士。现从中选取 2 位女士和 3 位男士组成一个委员会，问有多少种不同的委员会？另外，如果其中 2 位男士之间有矛盾，并且拒绝一起工作，那又有多少种不同的委员会？

解：
第一部分：

选女士：$ C_5^2 = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10 $
选男士：$ C_7^3 = \frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} = 35 $
总数：$ 10 \times 35 = 350 $

第二部分（两位男士不能共存）：

总的选法中，同时包含这两位男士的情况：需从其余 5 位男士中再选 1 人 → $ C_5^1 = 5 $ 种
合法选法：$ 35 - 5 = 30 $
女士仍为 $ C_5^2 = 10 $ 种
合法委员会总数：$ 30 \times 10 = 300 $

例 4c

假设在一排 $ n $ 个天线中，有 $ m $ 个是失效的，另 $ n-m $ 个是有效的，且同类天线不可区分。问有多少种线性排列方式，使得任何两个失效的天线都不相邻？

解：

先将 $ n - m $ 个有效天线排好，形成 $ n - m + 1 $ 个可插入位置（包括首尾）：
```
_ E _ E _ E _ ... _ E _
```
从中选 $ m $ 个位置放置失效天线，每位置至多一个，即可保证不相邻。
方案数为：
$C_{n - m + 1}^{m}$
当 $ m > n - m + 1 $ 时，结果为 0。

组合恒等式与二项式定理

帕斯卡恒等式

$C_n^r = C_{n-1}^{r-1} + C_{n-1}^r, \quad 1 \leq r \leq n$

组合解释：
固定一个元素，选 $ r $ 个元素可分为两类：

包含该元素：从其余 $ n-1 $ 个中选 $ r-1 $ 个 → $ C_{n-1}^{r-1} $
不包含该元素：从其余 $ n-1 $ 个中选 $ r $ 个 → $ C_{n-1}^r $
相加即得。

二项式定理

$y)^n = \sum_{k=0}^{n} C_n^k \, x^k y^{n-k}$

其中 $ C_n^k $ 称为二项式系数。

证明方法一：数学归纳法

步骤 1：验证基础情形（$ n = 1 $）
$x + y)^1 = x + y$
右边展开：
$\sum_{k=0}^{1} C_1^k x^k y^{1-k} = C_1^0 x^0 y^1 + C_1^1 x^1 y^0 = y + x$
成立。

步骤 2：归纳假设

假设对某个正整数 $ n-1 $ 成立，即：
$y)^{n-1} = \sum_{k=0}^{n-1} C_{n-1}^k x^k y^{n-1-k}$

步骤 3：证明对 $ n $ 成立
$y)^n = (x + y)(x + y)^{n-1} = (x + y) \sum_{k=0}^{n-1} C_{n-1}^k x^k y^{n-1-k}$

将其拆分为两部分：
$\sum_{k=0}^{n-1} C_{n-1}^k x^k y^{n-1-k} + y \sum_{k=0}^{n-1} C_{n-1}^k x^k y^{n-1-k} = \sum_{k=0}^{n-1} C_{n-1}^k x^{k+1} y^{n-1-k} + \sum_{k=0}^{n-1} C_{n-1}^k x^k y^{n-k}$

对第一项做变量替换：令 $ i = k+1 $，则：
$\sum_{i=1}^{n} C_{n-1}^{i-1} x^i y^{n-i}$

第二项保持 $ i = k $：
$\sum_{i=0}^{n} C_{n-1}^{i} x^i y^{n-i} \quad \text{（注意当 } i=n \text{ 时，} C_{n-1}^n = 0\text{）}$

合并两项：
$y)^n = \sum_{i=1}^{n} C_{n-1}^{i-1} x^i y^{n-i} + \sum_{i=0}^{n} C_{n-1}^{i} x^i y^{n-i} = C_{n-1}^0 x^0 y^n + \sum_{i=1}^{n-1} \left( C_{n-1}^{i-1} + C_{n-1}^i \right) x^i y^{n-i} + C_{n-1}^{n-1} x^n y^0$

利用帕斯卡恒等式：
$C_n^i = C_{n-1}^{i-1} + C_{n-1}^i$