CF580D，Kefa and Dishes（状压DP）

最新推荐文章于 2019-09-27 16:35:29 发布

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分类专栏：状压DP 文章标签：状压DP

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本文深入解析了一道关于从n道菜中选取m道以获得最大权值的问题，通过状态压缩动态规划（状压DP）的方法，详细阐述了如何确定状态、转移方程，并在代码实现中巧妙处理了吃菜数量的限制。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题意：有n道菜，每道菜一个权值，有k个条件，表示第y道菜在第x道后马上吃有c的附加值。求从中吃m道菜的最大权值。

本题详解可看：
https://www.cnblogs.com/real-l/p/8597827.html
作为还在入门状压DP的萌新，这里就分析一下怎么推出DP状态。
首先，n的范围比较小，且每道菜有个吃与不吃操作，可用二进制1,0表示，故不难相处可用状压DP；其次，n道菜就有1<<n种不同的选择，因此DP状态中一定要有一维是[1<<n]。最后，因为吃菜的顺序不同可能还有加成，因此我们还要记录一下上次吃的最后一道菜是什么。于是DP状态差不多就出来了：
状态：dp[i,j]表示在状态i的情况下，最后一道菜是吃j时所能达到的最大权值，1<=i<(1<<n)，1<=j<=n。
转移方程：
for( i <- 1 ~ 1<<n) //枚举状态
.----for( j <- 1 ~ n) //枚举在i状态下，最后吃的菜
.--------if( i & ( 1<< (j-1) ) )
.-----------for( k <- 1 ~ n) //枚举在i状态下，还没吃过的菜
.----------------if ( ! ( i & ( 1<< (k-1) ) )
.---------------------dp[i|(1<<(k-1),k]=max(dp[i|(1<<(k-1),k], dp[i,j]+a[k]+c[x,y]) //更新

不过因为题意有个限制，就是最终是要吃m道菜，显然，我们不可能再在DP状态中再加一维了，那样就太大了，如何解决这个问题会在代码中体现。

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstring>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int maxn=1<<18;
ll dp[maxn][20];
ll a[20];
ll map[20][20];

int main()
{
	int n,m,k;
	cin>>n>>m>>k;
	for(int i=1;i<=n;i++)	cin>>a[i];
	memset(map,0,sizeof(map));
	for(int i=1;i<=k;i++)
	{
		int x,y,c;
		cin>>x>>y>>c;
		map[x][y]=c;
	}
	memset(dp,0,sizeof(dp));
	ll ans=0;
	for(int i=1;i<=n;i++)	dp[1<<(i-1)][i]=a[i];
	for(int i=1;i<(1<<n);i++)
	{
		int cnt=0;		//我们知道i在二进制下是个01串，有1就说明某道菜有吃，cnt就是来记录i状态吃了多少菜的
		for(int j=1;j<=n;j++)
		{
			if(i&(1<<(j-1)))	//如果j这道菜有吃
			{
				cnt++;	//显然cnt++
				for(int k=1;k<=n;k++)
				{
					if(!(i&(1<<(k-1))))
						dp[i|(1<<(k-1))][k]=max(dp[i|(1<<(k-1))][k],dp[i][j]+a[k]+map[j][k]);
				}
			}
		}
		if(cnt==m)	//判断此时i是否吃满m道菜了，是的话更新ans
		{
			for(int j=1;j<=n;j++)		//再进行一次枚举
				ans=max(ans,dp[i][j]);
		}
	}
	cout<<ans<<endl;
	return 0;
}