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最新推荐文章于 2022-05-22 16:19:08 发布

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分类专栏： DP 文章标签： DP初始化

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/shamansi99/article/details/116530640

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博客探讨了一道涉及动态规划的编程题目，描述了如何通过状态转移方程解决数字跳跃问题，初始状态设置的难点以及优化策略。文章还提供了Python代码实现，并针对超时问题进行了优化。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

很明显的动态规划，设置 dp[n]，dp[i] 表示调到数字 i 所需的最少步数。这道题的状态转移方程很简单：
dp[i] = min(dp[i - 1], dp[(i - k) % n]) + 1
不过，这道题难的地方就在于，dp 的初始化比较难想到，有一点比较细。正确的初始化方案如下：

// 从 0 位置开始, 逐次往后跳 1 步
for i in [0, n - 1]:  
	dp[i] = i

// 从 k 位置开始, 逐次往后跳 k 步, 根据数学关系可推导出最多跳 n * k / gcd(n, k) 
// 步就可以覆盖 [0, n - 1]所有数字
step = 1  // 记录步数
temp = k  // 记录位置
for i in [0, n * k / gcd(n, k)]:  
	dp[i] = min(dp[i], step)
	temp = (temp + k) % n
	step += 1

然而，这么做还是不行，会超时，因为如果 n, k 互质，n * k / gcd(n, k) 相当于 n * k，这个数字可能会非常大。
解决的方案也很简单，我们可以知道最终 dp[i] 最大不会超过 n - 1，也就是说任意一个数字最多只需 n - 1 步就可以到达。因此，将第二部的初始化代码修改如下：

for i in [0, min(n - 1, n * k / gcd(n, k)]:
	dp[i] = min(dp[i], step)
	temp = (temp + k) % n
	step += 1

Python 代码如下：

import sys


def gcd(x, y):
    if x > y:
        x, y =y, x
    r = y % x
    while r:
        x, y = r, x
        r = y % x
    return x


n, k = list(map(int, sys.stdin.readline().strip().split()))
dp = [_ for _ in range(n)]
step, temp = 1, k
for i in range(min(n, n * k // gcd(k, n))):
    dp[temp] = min(dp[temp], step)
    step += 1
    temp = (temp + k) % n
for i in range(n):
    dp[i] = min(dp[i], dp[i - 1] + 1, dp[i - k] + 1)
print(max(dp))