蓝桥杯系列 - 2019国赛 - 矩阵计数

最新推荐文章于 2024-03-06 11:14:23 发布

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分类专栏：状压DP 文章标签：状压DP

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矩阵的每个位置只有两种可能的状态，加上 N, M 的范围这么小，很容易想到要用到二进制，往这个思路想下去就想到了状压 DP。
大致思路如下：

输入 N, M，矩阵每行的状态就有 numState = 2^M 个。
假设 1 代表题中的 ‘X’，0 代表题中的 ‘O’。可以先从 [0, numState - 1] 里面挑出符合条件的数存进一个数组 stateAllowed，所谓“符合条件”就是这些数的二进制表示没有连续 3 个 1，例如 8 = (1000)₂ 是符合条件的，而 7 = (0111)₂ 和 15 = (1111)₂ 是不符合条件的。
设置 dp[N][numState][numState]，dp[i][j][k] 表示矩阵第 i 行的状态为 j，前一行的状态为 k 时，符合条件的矩阵有多少个。状态转移方程如 Pseudocode1 所示。dp 的初始化稍微有些难想到。我们假设矩阵的行号从 0 开始计数，采用 Pseudocode2 所示的方法对 dp 进行初始化。

""" Pseudocode1 """
for j in stateAllowed:
	for k in stateAllowed:
		for p in stateAllowed:
			if j & k & p == 0:  // 这个判断能保证矩阵在列上不会出现连续的 3 个 1
				dp[i][j][k] += dp[i - 1][k][p]

""" Pseudocode2 """
for j in stateAllowed:
	dp[0][j][0] = 1  // dp[0 - 1]并不存在, 也就是矩阵第 0 - 1 行并不存在
					 // 但我们可以假想它存在并且只有状态 0, 以此来对第 0 行进行初始化

时间复杂度为 O(N * 2^3M)
Python 代码如下：

import sys


N, M = list(map(int, sys.stdin.readline().strip().split()))
numState = 2 ** M

stateAllowed = []
for i in range(numState):
    cnt, flag = 0, False
    temp = i
    while temp:
        if temp & 1:
            cnt += 1
        else:
            cnt = 0
        if cnt >= 3:
            flag = True
            break
        temp >>= 1
    if not flag:
        stateAllowed.append(i)

dp = [[[0 for _ in range(numState)] for __ in range(numState)] for ___ in range(N)]
for i in stateAllowed:
    dp[0][i][0] = 1
for i in range(1, N):
    for j in stateAllowed:
        for k in stateAllowed:
            for p in stateAllowed:
                if j & k & p == 0:
                    dp[i][j][k] += dp[i - 1][k][p]
ans = 0
for i in stateAllowed:
    ans += sum(dp[N - 1][i])
print(ans)

还有一种比较简单的方法，也就是 DFS + 二进制枚举，如果在比赛时想不出状压 DP 就可以用这个方法。具体思路就不写了，挺容易的。不过不推荐 Python 选手用这种方法，因为这种方法时间复杂度为 O(2^N*M)，在本题不放松时间限制的情况下可能会超时，因为 Python 运行效率比较低。这种方法推荐 C++ 选手使用。