coupled quasi-harmonic bases

1) section 2, 公式$W\Phi = D\Phi\Lambda$推导

$L\Phi = \Phi\Lambda$
$D^{-1}W\Phi = \Phi\Lambda$
$W\Phi = D\Phi\Lambda$

2) 图1说明, 用Laplacian eigenbases求得的functional correspondence在isometric shapes下, matrix $C$ 近似对角, 但在non-isometric shapes下, 矩阵不似对角, 而用coupled bases求得的functional correspondence 在non-isometric shapes也近似对角矩阵

3)图2说明, 用马的低频 和 骆驼的高频用pose transfer, 注意这里$a_i,b_i$the three-dimensional vectors of the Fourier coefficients corresponding to each embedding coordinate, 是个三维向量, 每个分量是每维的坐标值.
左图是用laplacian eigenbasis 而右图用coupled basis.

4) 图3说明, eigenfunction 和 coupled basis function在non-isometric shapes情况下表现的区别

5) (8)式前两项是diagonalization of the two Laplacians. 第三项是fourier coupling.

6) 第(10)式中注意 $k$是joint eigenvector的数量, $k'$是前$k'$eigenvector. the first $k$ joint eigenvectors as a linear combination of $k'$ eigenvectors.

7) 当$\mu \rightarrow \infty$时可以(13)式的方法去求.

8) 第4部分就是求(10)式中各部分的梯度, 用于优化, 然后关于$A,B$的初始化

9) 图4, 下面矩阵就是$A,B$

10) 图5, 说明对于匹配有误时 joint diagonalization的robust

11) 图6,7 coupled bases 对于简化模型以及简化后的点云的 robust

12) (19)式推导

$\begin{bmatrix} f_1^T \\f_2^T\\ \vdots \\ f_k^T \end{bmatrix}\Phi = \begin{bmatrix} g_1^T \\g_2^T\\ \vdots \\ g_k^T \end{bmatrix}\Psi\begin{bmatrix} c_{11}&&& \\&c_{22}&&\\ &&\ddots& \\ &&&c_{kk} \end{bmatrix}$

13)图9, 是用 MSER方法构造 的25个$f_i$, $g_i$, 然后求得的coupled bases用图8表示出来了.
14) 图10是算function correspondence matrix , 左边是eigenbases, 右边是coupled based的结果.

15) (20),(21)式没细看, 如果需要请细看[RCG08], 图12显示同时编辑的结果, (idea: 可否考虑将该方法运用在表情移植上面)

16) 图11, 用来作shape similarity的结果, 将两个shapes的functional correspondences matrix 在coupled bases下算出来, 对角程序越高越相似, 也就是图中方块越黑