map-based exploration of intrinsic shape differences and variability

这篇主要用矩阵来测量两个shape之间的area distortion和comformal distortion

2) 图二中$V(f)$说明how much $f$ is distorted by $F$,
3)Theorem 2中, $f,g$都作用于$M$上
4)公式(3)的推导
根据Theorem 2, $f^TH^MDg = f^TF^TH^NFg$
$H^MD = F^TH^NF$
得证

5) By applying a matrix conjugation by $G$ to $V_{M_2, N_2}$ … as needed.

乘以$G$ 先变到$L^2(M_2)$
乘以$V_{M_2, N_2}$进行变化
乘以$G$再变回到$L^2(M_1)$

6) Option 1 $h^M_c(f,g) = -f^TA^M\Delta g= -f^TA^M(A^M)^{-1}W^Mg$

7) Option 2 Laplace-Beltrai basis is orthnormal
则$h^M_a(f,g)=\sum f(x)g(x)$, 得到$V_{M,N}$
关于$R_{M,N}$, $\Delta g = \lambda g$

8)functoriality $V_{M,K} = V_{M,N}\circ V_{N,K} = V_{M,N}F^{-1}_1V_{N,K}F_1$

9)localization and relation to existing measures

注意 $\rho$为function
$F(\rho) = \rho \circ T$

10) First, we vectorize the area … commensurable both within and across plots.
这句话得意思是先把shape difference matrices向量化, 找出最大的两个principal component directions, 然后单位化, 这样不仅在于一副图内可以比较, 在图于图之间也可以比较.

11) second, we obtain … where $M = \sum_i \sigma^2_iP^T_iP_i$; here the weighting by variances allows giving more imporance to more prominent principal directions.

这里函数$f$也进行了归一化处理, 为了好比较, $P_i$代表某种主要形变, $P_if$代表函数$f$在这种主要形变下的值得变化, $\sigma_i$是某种主要形变的权重, 也就是某个具体形变(可以是shape collection里面的形变也可以是新的形变)矩阵在PCA主轴$P_i$上的投影

其中有句话 Note that we are not discussing the average amount of distortion, but rather the deviation of the distortion from the average.
是说下式求出来的是不是平均形变量, 而是某一具体形变到平均形变的差距, 因为后面说了Since PCA centers data around the average, 所以中心点是平均形变量(从base shape变过来的), 而式子结果就是某一具体形变到这个平均形变的形变量.

12) 图3, 说明shape collection中 不同形变在PCA坐标系下的表示, 最后一列说明, 在base shape上面, 形变值的分布

13) 图4, 说明area distortion and conformal distortion之间还是差距的

14)图5, 是讲fuzzy map, 是说不确定的函数映射关系, 原本函数映射$T_F(f)$是已知的, 或者通过$T_F(f)=g=f\circ T^{-1}$求得(只不过这种需要知道T), 而这里函数映射不已知,T也不已知, 只知道source某一点x对应target某一点的概率值$\rho(x)$, 所以函数映射$T_F(f) = \int f \circ \rho(x)dx$

15) 图6, 是说根据ROI然后在collection找出ROI相似的shape

16) 图7, 是说根据从Rest到ROI的形变矩阵, 然后多乘几次, 就可以这种形变的加强版magnification

17) 图8, 是说从Initial 到 Final的形变向量之间均匀取几个值, 然后从collection里面跳出跟这几个值最接近的模型

18) 图9, 从A到B的差异找从C到D的差异

19) 图10, 从A到B的差异, 找出$D_i$到$C_i$的差异, 图11也是一样的

20) 图11是two shape collections之间的匹配, without a cross map.