Sparse Modeling of Intrinsic Correspondences

这篇文章的主要贡献是把区域的匹配细化到点的匹配上去

As the input to our algorithm, we are given only two sets of regions in two shapes; no descriptors
are provided so the correspondence between the regions is not know, nor we know how many regions correspond in the two shapes. We show that even with such scarce information, it is possible to establish very accurate correspondence between the shapes by using methods from the field of sparse modeling, being this, the first non-trivial use of sparse models in shape correspondence.

1) 图1, $\Pi$是置换矩阵, $A,B$是多个函数$f_i, g_i$在orthonormal harmonic bases$\Phi(V_M\times B_M), \Psi(V_N\times B_N)$下的系数矩阵. $C((B_M\times B_N)$是functional correspondence matrix, 从一个基的系数转到另外一个基的系数, 注意论文里$m$是点数, $n$是基的数量, 然后假设在两个模型上他们是一样的. $O$是匹配有误的地方的弥补矩阵

2) 注意repeatable的定义, i.e. appear(possibly with some inaccuracy) on both shapes.

3) 1-norm promotes a sparse solution(产生稀疏), 2- norm 产生平滑的结果.

4) $\|z\|_{1,2} = \|z_1\|_2 + \cdot + \|z_k\|_2$
可以看成
$\|z\|_{1,2} = \|z_1\|_2 + \cdot + \|z_k\|_2= \| (\|z_1\|_2 + \cdot + \|z_k\|_2)\|_1$

组内平滑, 组间稀疏, 简单理解就是列稀疏, 然后后面的$l_{2,1}$就是行稀疏

5)图2-4是说这方法有效, 图5是说未完全相互匹配的WKS point features使用该算法, 算出来的$\Pi, O, C$.

6)图6是说, 当non-isometric 程度 大的时候, 该方法失效

7) 式(11), 第一部分是满足detected regions的匹配关系 , 第二部分是让$C$变成对角矩阵, 后面是等同解法

8) 式(16), 矩阵$O$是弥补矩阵, 第三项用了2,1norm, 就是行内平滑, 行间稀疏(行稀疏)

假设$A$为$q \times n$, $B$为$r \times n$, 他两只有$s$行match, $s \le q$
说明$B$中的某些行没有匹配上, 为了表达此意,只需要$\Pi B$中的$\Pi$某些列为0, 那么$1^T \Pi \le 1^T(乘以全为0的列时)$或者$\Pi^T 1 \le 1$
但是由于$s \le q$, 说明$A$有时行也有可能 没有匹配上, 类似我们可以加上$\Pi 1 \le 1$, 但是这样容易得到$\Pi = 0$, 所以我们强制$A$每行都有匹配,只不过有q-s是错误匹配的, 这时我们需要加上$O$矩阵来容错, 然后让这个容错矩阵行稀疏, 让错误匹配的行数尽量减少

注意原论文有误, 应该是$q-s$ mismatches, 公式17, 求和是从1到

9)section 4是解法 , 我没细看

10) 图7, 是该算法的迭代情况

11)图8, 是算法与其他算法的对比, 横轴是初始geodesic error的值, 纵轴是匹配正确率,