14、航天器姿态稳定控制：闭环控制分配方案解析

航天器姿态稳定控制：闭环控制分配方案解析

1. 系统稳定性分析

在航天器姿态稳定控制中，系统的稳定性至关重要。首先通过数学推导来分析系统的稳定性。定义了如下公式：
[
\ell_{max}(L) \leq \left\lVert R_1W_1W^{-1} \right\rVert_2 = \sup_{x\neq0} \frac{x^TW^{-1}(R_1W_1)^2W^{-1}x}{x^Tx} \quad (8.25)
]
令 (W^{-1}x = y)，则 (Wy = x)，公式 (8.25) 可重新描述为：
[
\ell_{max}(L) \leq \sup_{y\neq0} \frac{y^T(R_1W_1)^2y}{y^TW^2y} = \sup_{y\neq0} \frac{y^T(R_1W_1)^2y}{y^T((R_0W_0)^2 + (R_1W_1)^2 + (W_2)^2)y} \leq \sup_{y\neq0} \frac{y^T(R_1W_1)^2y}{y^T(R_1W_1)^2y} = 1 \quad (8.26)
]
由于 (W_0)、(W_1) 和 (W_2) 表示对角正定加权矩阵，对于任何 (y \neq 0)，有 (y^T((R_0W_0)^2 + (W_2)^2)y > 0)。从公式 (8.24) 到 (8.26) 可以得出，矩阵 (L) 的特征值 (\ell_i) 在区间 ((0, 1)) 内，这表明系统公式 (8.25) 是渐近稳定的。

在稳定性分析中采用了离散时间方法，原因主要有两点：
- 在实际工程环境（如轨道航天器）中，计算机的操作和工作信号是离散时间信号。