37、MATLAB在微分方程与拉普拉斯变换中的应用

MATLAB在微分方程与拉普拉斯变换中的应用

1. 微分方程基础

在数学和工程领域，微分方程是描述系统变化规律的重要工具。一阶常微分方程（ode）通常可以写成如下形式：
$\frac{dy}{dt} = f(t, y)$
其中，$t$ 是自变量，$y$ 是 $t$ 的函数。这类方程的解是一个函数 $y = g(t)$，满足 $\frac{dg}{dt} = f(t, g)$，并且解中会包含一个任意常数。当我们对解施加额外条件，要求在 $t = t_1$ 时解具有指定值 $y(t_1)$，这个常数就可以被确定。$t_1$ 常取最小值或起始值，这种条件被称为初始条件（通常 $t_1 = 0$），更一般的术语是边界条件。

二阶常微分方程的形式为：
$\frac{d^2y}{dt^2} = f(t, y, \frac{dy}{dt})$
其解会包含两个任意常数，需要指定两个额外条件才能确定这些常数，常见的是指定 $t = 0$ 时 $y$ 和 $\frac{dy}{dt}$ 的值。

为了方便表示，我们会使用以下缩写：
$\dot{y} = \frac{dy}{dt}$，$\ddot{y} = \frac{d^2y}{dt^2}$

2. MATLAB求解微分方程

MATLAB 提供了 dsolve 函数来求解常微分方程，其不同形式根据求解单个方程还是方程组、是否指定边界条件以及默认自变量 $t$ 是否适用而有所不同。需要注意的是，这里默认自变量是 $t$，而非其他符号函数中的 $x$，这是因为许多工程应用的常微分方程模型以时间 $t$ 作为自变量。