13、动力学问题与刚体运动分析

动力学问题与刚体运动分析

1. 动力学问题

以下是一系列动力学问题及其描述：
1. 子弹射入球形物体问题 ：质量为 $m$ 的子弹水平射入质量为 $M$、用长度为 $l$ 的线悬挂的球形物体，嵌入子弹的球形物体上升高度为 $h$，求子弹射入时的速度。数值应用：$m = 40$ g，$M = 30$ kg，$l = 700$ mm，$h = 20$ mm。
2. 弹簧连接物体问题 ：两个质量分别为 $m_1$ 和 $m_2$ 的物体在光滑水平面上，由正常长度为 $l_0$、弹簧常数为 $k$ 的弹簧连接。弹簧被压缩到长度 $l$（$l < l_0$）后释放，求弹簧恢复到正常长度 $l_0$ 时每个物体的速度。数值应用：$m_1 = 1.5$ kg，$m_2 = 2.5$ kg，$k = 15$ lb/in.，$l_0 = 12$ cm，$l = 8$ cm。
3. 圆周运动粒子问题 ：质量为 $m$ 的粒子在光滑水平面上沿半径为 $r$ 的圆周运动，通过中心 $O$ 的绳子连接。半径为 $r$ 时，绳子和粒子的角速度为 $\omega$。绳子从下方拉动，直到路径半径变为 $r/2$，求最终角速度和绳子的最终张力。
4. 旋转平台粒子问题 ：两个重量均为 $W$ 的粒子由质量可忽略的绳子连接，平台圆盘以角速度 $\omega$ 旋转，绳子断裂。粒子与凹槽无摩擦，求粒子撞到外部挡块时系统的角速度。数值应用：$W = 4$ lb，$\omega = 20$ rad/s，$r = 3$ in.，$a = 10$ in.。
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