神经广义预测控制在混沌系统同步中的应用

基于神经广义预测控制的混沌系统同步

1 引言

混沌被认为是一种反决定论理论。Lorenz 在 1960 年意外发现，某些系统中对初始条件的敏感依赖性，即蝴蝶效应，使得即使这些系统受到特定作用力，也无法预测其行为。几乎同样地，由于混沌系统的复杂行为，两个混沌系统（主/驱动与从/响应系统）的同步曾被认为是无法实现的现象。然而，Pecora 和 Carroll (1990) 揭示出，通过耦合部分内部状态，混沌系统可以共享相同的动力学特性。这一开创性工作引起了广泛关注，尤其是在安全通信领域（Cuomo 和 Oppenheim, 1993； Cuomo 等, 1992；Balasubramaniam 和 Muthukumar, 2014）。

作为一种新策略，Lai 和 Grebogi (1993) 提出了一种利用控制概念来同步混沌系统的方法。该方法采用 Ott 等 (1990) 的算法，通过对一个可访问的参数施加特定值的扰动来实现同步。此外，通过向从系统添加外部控制律也可以实现混沌同步。在这种情况下，同步可以被定义为跟踪问题或稳定性问题。许多控制方法在混沌/超混沌系统的同步方面的性能已经得到了验证，从最简单的主动控制（Bai 和 Lonngren, 1997； Vaidyanathan, 2011）、被动控制（Zhou 等, 2012；Huang 等, 2010）、高增益反馈 （Kapitaniak 等, 1996）和反步法（Tan 等, 2003），到一些更先进的自适应同步方法 （Wu 和 Lu, 2011；Driss 和 Mansouri, 2016；Jemaâ‐Boujelben 和 Feki, 2016）、 模糊逻辑控制（Chen 等, 2013；Arun 和 Mohan, 2018）、H∞同步（Liu 等, 2015； Trudgen 等, 2018）以及基于模糊滑模的控制（Akbarzadeh 等, 2017），以解决不确定性和时滞问题。然而，利用神经广义预测控制（NGPC）对混沌/超混沌系统进行同步的问题尚未被研究。

广义预测控制 (GPC) 由 Clarke 等 (1987) 提出，被认为是一种特殊的模型预测控制 (MPC) 算法。MPC 已在过程控制中成功实施。然而，其缺乏灵活性被视为一个主要缺点。换句话说，几乎每个控制问题都需要设计特定的算法。因此， Clarke 等 (1987) 设计了一种通用且直接的预测方法，以解决一些问题，特别是针对非最小相位系统、开环不稳定系统、具有可变或未知死区时间的被控对象以及未知阶次的被控对象。由于该新算法适用于通用场合，他们将其命名为 GPC。即使在今天，当涉及约束时，GPC 也比 MPC 更高效。在这种情况下，大多数 MPC 算法使用线性矩阵不等式 (LMI) 作为优化工具，这需要采用 TS 模糊模型 (Ariño 等, 2017；Messadi 和 Mellit, 2017；Mellouli 等, 2018)。该方法增加了矩阵运算的数量，包括矩阵求逆运算。

GPC的经典形式是一种复杂的方法，包含许多复杂的数学步骤。然而，该方法的主要缺点是使用泰勒级数（Jadlovská 等，2008）对系统进行线性化处理。这一步骤限制了控制器处理简单非线性系统的能力，并使其难以有效应对实际系统中广泛存在的复杂非线性特性。因此，已采用一些先进工具通过引入某些先进方法来简化该算法并提高其效率，尤其是在模型精度和优化算法方面。例如，可以指出使用神经网络进行建模，以及使用群体智能算法 （如PSO（肯尼迪，2011年））来求解优化问题。当使用神经网络作为模型时， GPC就变为NGPC（王和孙，2010；奇德拉瓦尔等，2009；宋等，2007）。

通常情况下，广义预测控制在控制过程中需要一个精确的模型来寻找最优控制输入。另一方面，由于混沌系统对初始条件具有敏感依赖性，导致其行为难以预测，这引出了一个非常重要的问题：NGPC能否应对不确定的混沌或超混沌系统的同步问题？

本文的目的是研究在参数不确定/未知的情况下，NGPC用于混沌与超混沌系统同步的可行性与灵活性。完全同步（CS）（瓦伊迪亚纳坦，2017；瓦伊迪亚纳坦等，2018）、混合同步（HS）（苏迪尔和萨比尔，2009；辛格等，2017；瓦伊迪亚纳坦和桑帕特，2017）以及基于单输入控制器的同步方法（杨，2011）是用于检验所提出方法性能的标准。粒子群优化（PSO）算法是一种能够在探索与开发之间进行权衡的优化算法。许多其他优化算法虽具备逃离局部最优的能力，但在实现上更为复杂。本文引入PSO算法以增强所提出的NGPC解决非凸优化问题的能力，并简化优化问题，尤其是在存在约束条件的情况下。另一方面，神经网络模型为 GPC在处理复杂非线性系统时提供了更高的灵活性。本文通过展示使用NGPC的可能性和优势，对该研究领域做出了贡献，NGPC结合了建模、优化与控制。通过使用NGPC，控制问题转化为一个优化问题，从而可以引入诸如PSO等先进优化算法。

优化算法通过其非线性优化引擎，在每一阶段寻找最优解，从而确保系统的稳定性。此外，NGPC的概念能够成功应对不同的同步问题。本文重点研究上述情况下两个相同的洛伦兹系统以及两个相同的四维吕超混沌系统之间的同步问题。

本文的结构如下。第2节描述了不确定混沌系统的同步问题。第3节概述了 NGPC方法。第4节展示了所提出方法的性能。最后，第5节给出了结论。

2 问题描述

我们考虑以下主系统和从系统：

$$
\dot{x} = f(t, x)
$$
$$
\dot{y} = g(t, y) + U(t, x, y)
$$

其中，$x(t)$ 和 $y(t) \in \mathbb{R}^n$ 分别为主系统和从系统的 $n$ 维状态向量；$f$ 和 $g: \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^n$ 为连续非线性向量；$U(t, x, y)$ 是控制向量。

同步误差向量定义为

$$
e(t) = y(t) - Mx(t)
$$

其中 $M$ 是一个常数对角矩阵，即

$$
M = \text{diag}(m_1, m_2, \ldots, m_n)
$$

（$m_i \neq 0$，$i = 1, 2, \ldots, n$）。$M$ 称为缩放矩阵，$m_i$ 为缩放因子。如果存在一个合适的控制器 $U(t, x, y)$，使得满足以下方程，则实现同步：

$$
\lim_{t \to \infty} |e(t)| = \lim_{t \to \infty} |y(t) - Mx(t)| = 0
$$

对于任意初始条件 $x(0)$ 和 $y(0)$ 均满足。

当 $m_i = 1$ 且 $m_i = -1$ 时，实现完全同步（CS）和反同步。此外，如果比例因子中的奇数元素 $m_{\text{odd}} = 1$ 与偶数缩放因子 $m_{\text{even}} = -1$，则两个系统之间发生 HS（广义同步）。

3 神经广义预测控制

NGPC算法属于复杂控制方法。该方法包含多个组成部分，其中被控对象模型和最小化算法对于确保控制器的期望性能起着至关重要的作用。这两个部分相互关联，其中一个部分性能不佳会影响另一个部分，最终影响控制器的整体性能。因此，被控对象模型必须具有足够的准确性，以便在特定输入条件下为最小化算法提供关于被控对象变化的正确数据。另一方面，最小化算法必须能够找到问题的全局最优解，从而驱动被控对象达到期望的参考输入。为了学习非线性系统的动力学特性，已采用多种非线性建模技术。然而，由于混沌系统对初始条件的敏感依赖性，其复杂行为促使人们越来越关注一些先进的建模技术，例如神经网络。优化算法是第二个关键点，其性能直接影响计算效率，并可能导致控制器采取错误动作。一些传统的优化技术，如勒文伯格‐马夸尔特、牛顿‐拉夫森算法以及 Di 和 Pj（1997）、 Chidrawar 等人（2009），已被应用于广义预测控制（GPC）。然而，近年来出现的一些先进优化算法，如遗传算法（GA）（荷兰，1992）、人工蜂群（ ABC）（卡拉博加，2005）和布谷鸟搜索算法（CSA）（杨和戴布，2009），使得最小化过程更简便且更高效地寻找全局最优解。

所提出的NGPC的四个组成部分如图1所示。优化算法和代价函数被集成在一个名为代价函数最小化（CFM）的模块中。该模块有两个输入和一个输出。第一个输入来自参考模型，参考模型根据输入信号 $r(t)$ 生成跟踪参考信号 $w(t + j | t)$。CFM的第二个输入来自被控对象的神经模型，为其提供预测输出 $\hat{y}(t + j | t)$。CFM的输出可在神经网络模型与被控对象之间切换。在搜索最优控制序列的过程中，CFM通过设置开关S使用神经模型。在该过程结束时，开关被切换至被控对象，并施加最优控制输入。

使用NGPC，主从同步问题被定义为一个跟踪问题，其中受控系统（被控对象）是从系统而非误差系统。结构基本保持不变，仅有一些修改：输入信号 $r(t)$ 变为主系统的输出；被控对象的输出变为从系统的输出；跟踪参考信号 $w(t + j | t)$ 表示参考信号 $r(t)$ 的预测输出。通常情况下，参考信号的未来变化是已知的，因此无需参考模型。在其他情况下，参考模型由以下形式定义：

$$
\begin{cases}
w(t) = x(t) \
w(t + j) = \alpha w(t + j - 1) + (1 - \alpha)r(t + j), & j = 1, 2, \ldots, N_N
\end{cases}
$$

其中 $\alpha$ 是一个软化因子。

参考信号来自主混沌系统，具有不可预测性。因此，除了从系统的神经模型外，还应使用主系统的另一个模型。然而，这将在控制过程中引入额外的不准确性，从而增大两个系统之间的误差。同步的目标是在每一步使从系统的轨迹跟随主系统的轨迹。因此，参考信号的输出可以在预测时域内保持恒定：

$$
\begin{cases}
w(t) = x(t) \
w(t + j) = r(t), & j = 1, 2, \ldots, N_N
\end{cases}
$$

3.1 NGPC的构建

3.1.1 优化问题

使用一些先进的优化方法，最小化算法提出一组输入。每个输入被视为优化问题的解，且算法需要关于其适应度的反馈。在广义预测控制中，代价函数由两部分组成：参考信号与被控对象模型之间的均方误差以及控制输入变化率的平方。因此，该优化问题表示为对以下准则的最小化：

$$
J(u,t) = \sum_{j=N_1}^{N_2} [\hat{y}(t+j) - x(t+j)]^2 + \sum_{j=1}^{N_u} \lambda(j) [\Delta u(t+j-1)]^2
$$

其中，$N_1$ 和 $N_2$ 分别为最小和最大代价时域，$N_u$ 为控制时域。$x$ 是参考轨迹（主系统），$\hat{y}$ 是神经网络模型的输出（从系统的模型）。 $\Delta u(t + j)$ 是输入的改变量，定义为 $u(t + j) - u(t + j - 1)$。$\lambda(j)$ 是输入的加权序列。

3.1.2 最小化算法

该问题被定义为一个优化问题，其中所使用的变量表示为输入向量的序列，如下所示：

$$
U = \begin{bmatrix}
u(t+1) \
u(t+2) \
\vdots \
u(t+N_u)
\end{bmatrix}
$$

当代价函数被最小化后，最优序列向量的第一个元素将被传递给被控对象。在下一个时间步长中必须定义新的输入序列。许多进化算法可用于解决此优化问题。其中最流行的算法之一是粒子群优化（PSO）算法（肯尼迪，2011年）。该算法属于基于群体的搜索算法，其中定义了一组初始解，称为群。每个候选解（粒子）以一定的速度在D维搜索空间中移动。该速度引导粒子根据其自身最优解和其他粒子中的最优解向新位置移动。

第 $i$ 个粒子由向量 $X(x_{i1}, \ldots, x_{id}, \ldots, x_{iD})$ 表示，其中 $d, \ldots, D$。每个粒子的速度根据两个位置计算：粒子迄今为止找到的最佳位置，称为个体最优（pbest），以及其他粒子中最佳粒子的位置，称为全局最优（gbest）。第 $i$ 个粒子的个体最优记录为 $P_i = (p_{i1}, \ldots, p_{id}, \ldots, p_{iD})$，而全局最优通过索引 $g$ 记录为 $P_g = (p_{g1}, \ldots, p_{gd}, \ldots, p_{gD})$。第 $i$ 个粒子的速度用向量 $V_i = (v_{i1}, \ldots, v_{id}, \ldots, v_{iD})$ 表示。每个粒子的下一个位置与其个体最优相关，并由以下公式确定：

$$
v_{id}^{k+1} = w v_{id}^k + c_1 r_1 (p_{id} - x_{id}^k) + c_2 r_2 (p_{gd} - x_{id}^k)
$$
$$
x_{id}^{k+1} = x_{id}^k + v_{id}^{k+1}
$$

其中，$k$ 为迭代索引，$w$ 为惯性权重。$C_1 = C_2 = 2$ 是两个正的加速度系数。$r_1$ 和 $r_2$ 是从 $[0, 1]$ 中抽取的两个均匀随机数样本。为了使粒子群优化（PSO）适用于求解广义预测控制优化问题，第 $i$ 个粒子 $X_i$ 表示输入向量序列 $U$，其搜索空间的维度为控制时域 $N_u$。代价函数 (6) 用于计算第 $i$ 个粒子的适应度。

3.1.3 神经网络架构

一般来说，广义预测控制中的模型有两个任务：捕捉并预测被控对象的动力学。NARX模型可用于描述如下形式的非线性系统的动力学：

$$
\hat{y}(k+1) = f(y(k), y(k-1), \ldots, y(k-n_y), u(k), u(k-1), \ldots, u(k-n_u))
$$

其中，$n_y$ 和 $n_u$ 分别为其对应输入的延迟，$u(k)$ 和 $y(k)$ 分别为系统的输入和输出，$f(\cdot)$ 是由人工神经网络估计的未知非线性函数。神经网络模型的初始训练必须离线进行。该网络与受控系统接收相同的输入，但网络还额外接收来自被控对象输出的一个输入，该输入有助于网络捕捉系统的动力学特性。在训练过程中，通过调整权重，使得一组输入产生期望的输出集合。计算神经网络响应与系统响应之间的误差，并利用梯度下降学习算法根据该误差更新权重。神经网络的输入包括 $u$ 和 $y$ 及其相应的延迟输入，每个输入对应一个独立的节点。该网络包含一个隐含层，其中包含多个使用双曲正切函数的隐含节点，输出节点则采用线性输出函数。因此，神经网络的输出可重写为

$$
\hat{y}(k) = \sum_{j=1}^{\text{hid}} w_j \tanh(\text{net}_j(k) + b_j)
$$

and

$$
\text{net} j(k) = \sum {i=1}^{n_u} w_{j,i} u(k-i) + \sum_{i=1}^{n_y} w_{j,i} y(k-i) + b_j
$$

其中 $y(k)$ 是神经网络的输出，$\text{net} j(k)$ 是第 $j$ 个隐含节点输出函数的激活水平，$\text{hid}$ 是隐含层中隐含节点的数量，$w_j$ 是连接第 $j$ 个隐含节点与输出节点的权重，$w {j,i}$ 是连接第 $i$ 个输入节点与第 $j$ 个隐含节点的权重，$b_j$ 是第 $j$ 个隐含节点的偏置，$b$ 是输出节点的偏置。

神经网络被用作模型，以预测被控对象动态在未来时刻 $k + n$ 的行为。这可以通过对方程 (11) 和 (12) 进行如下移位来实现：

$$
\hat{y}(k+n) = \sum_{j=1}^{\text{hid}} w_j \tanh(\text{net}_j(k+n) + b_j)
$$

and

$$
\text{net} j(k+n) =
\begin{cases}
\sum {i=1}^{n_u} w_{j,i} u(k+n-i) + \sum_{i=1}^{n_y} w_{j,i} y(k+n-i) + b_j, & n < N_u \
\sum_{i=1}^{n_u} w_{j,i} u(k+N_u-i) + \sum_{i=1}^{n_y} w_{j,i} \hat{y}(k+n-i) + b_j, & n \geq N_u
\end{cases}
$$

3.1.4 基于标准PSO算法的NGPC

NGPC四个组成部分之间的关系通过以下步骤给出：
1. 在每个时间步长，采样参考模型（主系统）的输出 $x$、从系统的输出 $y$ 以及前一个控制输入 $u$。
2. PSO算法初始化一个包含 $N$ 个粒子的群，其中控制时域为粒子的维度。
3. 使用公式(6)计算粒子的适应度，其中利用神经网络模型递归地计算预测值 $\hat{y}(t+j)$，并通过粒子中的未来控制动作进行计算。
4. 使用公式(8)和公式(9)更新粒子的位置，并重新定义个体最优和全局最优。
5. 重复步骤3和4，直到达到选定的迭代次数或实现期望的最小化目标。
6. 将全局最优的第一个控制输入发送到从系统。
7. 对每一步重复整个过程。

4 仿真结果

本部分的目的是通过展示驱动系统和响应系统的输出以及控制输入，揭示所提出的 NGPC如何应对混沌系统的同步问题。为了说明本文所述NGPC的性能，我们考虑了混沌与超混沌系统中不同的同步问题。在将NGPC应用于系统之前，首先对神经网络模型进行训练。为了训练神经网络，采用一段有限长度的、范围为[–1, 1]的均匀分布随机变量输入序列，并以恒定脉冲宽度施加到从系统，用于离线训练。神经网络使用MATLAB神经网络工具箱，基于Levenberg‐Marquardt算法和均方误差进行训练。系统中的每个状态被单独研究，并拥有各自的模型和控制器。针对从系统的每一个状态，采用具有6‐3‐1结构的前馈神经网络。模型的输入为 $y(k–1)$、$y(k–2)$、$y(k–3)$、$y(k–4)$、$u(k–1)$、$u(k–2)$，而其仅有一个输出 $\hat{y}(k)$。使用四阶龙格‐库塔方法求解非线性系统，时间步长为0.005。在不确定混沌系统同步中所使用的代价函数如下所示：

$$
J(k) = \sum_{j=1}^{3} [y(k+j) - x(k+j)]^2 + \sum_{j=1}^{2} \lambda(j)[\Delta u(t+j-1)]^2
$$

PSO算法用于寻找具有控制时域（$N_u= 2$）和预测时域 $N_1= 1$，$N_2= 3$, $\lambda= 0.01$ 的最优控制序列。种群规模为30；最大迭代次数为35。

代价函数的参数根据所研究的问题进行调整。在代价函数中加入输入 $\Delta u$ 有两个原因。第一个原因是在阶跃信号参考和非最小相位系统的情况下消除稳态误差。第二个原因是关于约束的。该项可以在以下三种情况下从代价函数中移除：最小相位系统、无输入约束，或优化算法允许在优化过程中引入约束。预测时域是最重要参数。两个混沌系统是振荡的，这与使用方波信号作为非振荡非线性系统的参考时相反。在这种情况下，增加预测时域对于使被控对象稳定并快速收敛到参考值且无超调峰值非常有用。在所研究的情况下，较宽的预测时域导致两个问题。第一个问题涉及不完善模型与复杂系统的组合。这种组合降低了预测精度，导致每一步的误差逐步增加。第二个问题涉及同步问题和控制器的目标。在每一步中，控制器必须将从系统的输出引导至主系统的输出。当向前预测几步时，控制器获得一些未来版本，这些版本在恒定控制输入存在的情况下不会以恒定方式变化，并持续振荡。这将向优化算法添加一些数据，使控制器偏离其主要目标。因此，同步问题的理想参数为：$N_1= N_2= 1$，$N_u= 1$ 和 $\lambda= 0$。然而，参数的选择略微偏离理想点，以便使全局最优解的寻找变得稍困难一些。

4.1 洛伦兹系统同步

首先，我们考虑两个洛伦兹混沌系统的同步（Pchelintsev, 2014）。主系统由

$$
\begin{cases}
\dot{x}_1 = 10(x_2 - x_1) \
\dot{x}_2 = 28x_1 - x_2 - x_1x_3 \
\dot{x}_3 = x_1x_2 - \frac{8}{3}x_3
\end{cases}
$$

以及从系统

$$
\begin{cases}
\dot{y}_1 = 10(y_2 - y_1) + u_1 \
\dot{y}_2 = 25y_1 - y_2 - y_1y_3 + u_2 \
\dot{y}_3 = y_1y_2 - \left(\frac{8}{3} + 0.4\right)y_3 + u_3
\end{cases}
$$

作为本节的特定部分，我们将考虑输入数据（尤其是脉冲宽度）对控制输入性能和同步误差的影响。例如，我们使用从系统的第二状态在不同脉冲宽度（$\tau= 1$、$0.05$ 和 $0.001$）下的信号作为输入数据，然后在每种情况下对神经网络进行训练。图3和图4展示了每种情况下的结果。

从结果可以看出，NGPC的性能与脉冲宽度有关。在第一种情况下，当 $\tau= 1$ 时，控制输入出现抖振，导致同步误差较大。然而，当脉冲宽度减小时，当 $\tau= 0.05$ 时，抖振问题部分消失，当 $\tau= 0.001$ 时几乎消失，从而减小了误差。同样的方法被用于设计其他状态的控制器以及其他示例的控制器。

两个系统的初始条件选择为：$x(0) = [-6, 0, 4]^T$ 和 $y(0) = [2, -1, 0]^T$。所得的状态空间轨迹、控制输入信号和同步误差如图5和图6所示。

4.2 四维吕超混沌系统的同步

在本示例中，我们将所提出的方法应用于两个四维吕超混沌系统吕和陈（2002）的同步。主系统由以下定义

$$
\begin{cases}
\dot{x}_1 = 17(x_2 - x_1) \
\dot{x}_2 = 11x_1 - x_2 + x_1x_3 + x_4 \
\dot{x}_3 = -4x_3 + x_1x_2 \
\dot{x}_4 = -1.5x_4 + x_3
\end{cases}
$$

以及从系统为

$$
\begin{cases}
\dot{y}_1 = 14(y_2 - y_1) + u_1 \
\dot{y}_2 = 9y_1 - y_2 + y_1y_3 + y_4 + u_2 \
\dot{y}_3 = -6y_3 + y_1y_2 + u_3 \
\dot{y}_4 = -0.9y_4 + y_3 + u_4
\end{cases}
$$

两个系统的初始条件为

$$
x(0) = [-1.3, 0.6, 0.8, 0.3]^T
$$

and

$$
y(0) = [-9.9, -4.9, 5.1, 10.1]^T
$$

状态空间轨迹、控制输入信号和同步误差如图7和图8所示。

图5、6、7和8所示的仿真结果验证了所提出方法在实现两个相同的混沌与超混沌系统完全同步方面的有效性。五秒后控制开启，可以看出控制输入迅速升高至某些精确的峰值，从而在极短时间内实现两个系统之间的同步。然而，由于不确定性或干扰导致系统动学之间存在差异，控制器需介入以维持同步状态。从误差变化的图形中可以明显看出，由于控制输入的精确性，误差快速稳定到零状态。

4.3 混沌系统的混合同步（HS）

完全同步（CS）与HS（广义同步）之间唯一的区别在于误差系统的比例因子。从系统的输出中有一部分必须跟踪主系统输出的逆。因此，偶数代价函数定义如下：

$$
J(k) = \sum_{j=1}^{3} [y(k+j) - (-x(k+j))]^2 + \sum_{j=1}^{2} \lambda(j)[\Delta u(t+j-1)]^2
$$

而奇数的代价函数作为

$$
J(k) = \sum_{j=1}^{3} [y(k+j) - x(k+j)]^2 + \sum_{j=1}^{2} \lambda(j)[\Delta u(t+j-1)]^2
$$

吕系统和洛伦兹系统的初始条件与上一节中给出的相同。图9显示了洛伦兹系统的 HS（广义同步），而图10显示了误差系统的变化。

图11显示了两个四维吕氏混沌系统之间的HS（广义同步），而图12显示了误差系统的变化。

从图9、10、11和12可以看出，两个相同的洛伦兹混沌系统与吕氏超混沌系统实现了HS（广义同步）。显然，偶数状态实现了反同步，而其他状态则实现了完全同步。控制输入的变化方式与第一部分研究的情况相同，但更为剧烈。当其中一个状态为反同步时，控制器面临两个问题：系统的动力学差异以及从系统反向运动的趋势所带来的影响回到其正常状态。其他状态也受到反同步状态的影响，需要更多的功率来维持完全同步（CS）。在图11中，状态 $x_4$ 和 $y_4$ 的反同步再次证实了控制器能够在每一步找到正确的控制输入，从而实现系统最佳响应的准确性。

4.4 基于单输入控制器的Lü超混沌系统同步

使用单输入控制器的同步在 Yang (2011) 中已有详细描述。该理论定义了必须施加单个控制器以实现全局渐近稳定性的状态。

主系统定义为

$$
\begin{cases}
\dot{x}_1 = a(x_2 - x_1) \
\dot{x}_2 = cx_1 - x_2 + x_1x_3 + x_4 \
\dot{x}_3 = -bx_3 + x_1x_2 \
\dot{x}_4 = -dx_4 + x_3
\end{cases}
$$

从系统定义为

$$
\begin{cases}
\dot{y}_1 = a(y_2 - y_1) \
\dot{y}_2 = cy_1 - y_2 + y_1y_3 + y_4 + u \
\dot{y}_3 = -by_3 + y_1y_2 \
\dot{y}_4 = -dy_4 + y_3
\end{cases}
$$

在代价函数中，必须增加另一项，以使PSO算法获得其他状态的误差变化。因此，针对基于单输入控制器的混沌系统同步，定义了如下代价函数：

$$
J(k) = \sum_{j=1}^{3} [\hat{y}(k+j) - x(k+j)]^2 + \sum_{j=1}^{2} \lambda(j)[\Delta u(t+j-1)]^2 + \sum_{j=1}^{4} [e(k+j)]^2 \quad \text{for } j \neq 2
$$

系统的参数选择为 $a = 15$，$b = 5$，$c = 10$，$d = 1$。图13 显示了基于单输入控制器的 4D吕超混沌系统的同步，而误差系统的变化如图14所示。

从图13和图14可以看出，两个相同的四维吕超混沌系统实现了完全同步（CS）。对第二状态的控制输入仅在最初几秒内起作用，随后便稳定到原点。控制器的第一个峰值解决了当前状态初始条件差异的问题，之后的小幅波动则是为其他状态解决同样的问题。我们可以注意到，两个系统的参数相同，同步发生在相同系统之间。因此，一旦实现同步，便不再需要控制器的干预。

5 结论

本文中，采用NGPC策略解决了混沌与超混沌系统中的不同同步问题。所提出的 NGPC在解决研究问题方面的性能令人满意。NGPC的复杂结构在设计精确模型和选择合适最小化算法方面被视为一种缺点。然而，该复杂结构为解决多种问题提供了更高的灵活性。此外，使用具有经典训练方法的多层前馈神经网络足以捕捉混沌系统的动态特性。仿真结果表明了两个重要方面：第一，通过调整或在代价函数中添加新项，NGPC具有解决多种同步问题（如完全同步（CS）、HS（广义同步） 以及基于单输入控制器的同步）的灵活性；第二，某些先进优化算法（例如粒子群优化（PSO））的随机行为能够在每一步搜索最优控制输入，从而实现快速收敛至参考信号并保持平滑性。控制输入。所有这些特点使得所提出的NGPC成为混沌同步领域中一种有趣的方法。