背包问题求方案数、具体方案

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#算法 #c++

于 2023-02-11 12:00:41 首次发布

文章介绍了如何使用动态规划解决01背包问题和完全背包问题，包括求方案数和最优选法的方案数。对于每个问题，文章详细阐述了状态表示、状态转移方程，并提供了相应的C++代码实现。

背包问题求方案数、具体方案

01背包问题求体积恰好等于V的方案数
完全背包问题求体积恰好等于V的方案数
01背包问题求最优选法的方案数
完全背包问题求最优选法的方案数
01背包问题求具体方案

01背包问题求体积恰好等于V的方案数

原题链接AcWing278. 数字组合
在这里插入图片描述

考虑状态表示：
f[i][j]表示考虑前1~i个物品，体积恰好为j时的方案数(不考虑前1~i个物品组合后的价值，只考虑组合后的体积)

状态转移：
可以分两种情况
选第i个物品使得体积为j
不选第i个物品使其体积为j
第i个物品体积为v,价值为w

可以发现f[i][j]由上述两种情况构成，所以
f[i][j]=f[i-1][j]+f[i-1][j-v]
因为是体积恰好是j，所以初始化时
memset(f,0,sizeof f)
f[0][0]=1;
再对空间复杂度进行优化

代码如下:

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstring>
using namespace std;
const int M=10010;
int f[M];//f[i][j]表示考虑前1~i个物品，体积恰好为j时的方案数

int main(){
   
   
    int n,m;
    cin>>n>>m;
    f[0]=1;
    for(int i=0;i<n;i++){
   
   
        int v;
        scanf("%d",&v);
        for(int j=m;j>=v;j--)
            f[j]=f[j]+f[j-v];
    }
    cout<<f[m]<<endl;
    return 0;
}

完全背包问题求体积恰好等于V的方案数

原题链接AcWing 1023. 买书
在这里插入图片描述
物品数量无限，这是一道完全背包求方案数问题

考虑状态表示：
f[i][j]表示考虑前1~i个物品，体积恰好为j时的方案数(不考虑前1~i个物品组合后的价值，只考虑组合后的体积)

状态转移：
可以分多种情况
不选第i个物品使其体积为j   f[i-1][j]
选1个第i个物品使得体积为j f[i-1][j-v]
选2个第i个物品使得体积为j f[i-1][j-2*v]
.....
选s个第i个物品使得体积为j f[i-1][j-s*v]
第i个物品体积为v,价值为w

可以发现f[i][j]由上述s+1种情况构成，所以
f[i][j]=f[i-1][j]+f[i-1][j-v]+f[i-1][j-2*v]+.....+f[i-1][j-s*v]
而
f[i][j-v]=f[i-1][j-v]+f[i-1][j-2*v]+.....+f[i-1][j-s*v]
所以
f[i][j]=f[i-1][j]+f[i][j-v]
因为是体积恰好是j，所以初始化时
memset(f,0,sizeof f)
f[0][0]=1;
再对空间复杂度进行优化

代码如下：

#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<iostream>
using namespace std;
const int N=1010;
int f[N];
int d[4]={
   
   10,20,50,100};
int main(){
   
   
    int n;
    cin>>n;
    f[0]=1;
    for(int i=0;i<4;i++)
        for(int j=d[i];j<=n;j++)
            f[j]