【背包问题】背包问题求方案数

一、题目

有 $N$ 件物品和一个容量是 $V$ 的背包。每件物品只能使用一次。第 $i$ 件物品的体积是 $v_i$，价值是 $w_i$。求解将哪些物品装入背包，可使这些物品的总体积不超过背包容量，且总价值最大。

输出最优选法的方案数。注意答案可能很大，请输出答案模 $10^9+7$ 的结果。

输入格式
第一行两个整数，$N$，$V$，用空格隔开，分别表示物品数量和背包容积。

接下来有 $N$ 行，每行两个整数 $v_i,w_i$，用空格隔开，分别表示第 $i$ 件物品的体积和价值。

输出格式
输出一个整数，表示方案数模 $10^9+7$ 的结果。

数据范围

• $0<N,V\le 1000$
• $0<v_i,w_i\le 1000$

输入样例

4 5
1 2
2 4
3 4
4 6

输出样例：

2

二、思路

首先，我们要知道，这是一个01背包问题，只是需要在01背包问题的基础上，用一个状态数组来记录方案数即可。
我们使用的保存状态的数组：

• $dp[j]$：背包容量为$j$时的最大价值。
• $cnt[j]$：背包容量为j时获得最大价值的方案数。

我们在最后一层循环中，在更新$dp[j]$，也顺便更新$cnt[j]$即可。代码如下：

public class PackSolutionNum {
    public static void main(String[] args) {
        Scanner scanner = new Scanner(System.in);
        int N = scanner.nextInt();//物品数量
        int V = scanner.nextInt();//背包容量
        int[] weight = new int[1010];//物品重量or费用
        int[] value = new int[1010];//物品价值
        for (int i = 0; i < N; i++){
            weight[i] = scanner.nextInt();
            value[i] = scanner.nextInt();
        }

        System.out.println(solutionNum(N, V, weight, value));
    }

    public static int solutionNum(int N, int V, int[] weight, int[] value){
        int mod = (int) (Math.pow(10, 9) + 7); //题目中要求取模

        int[] dp = new int[V + 1];//dp[j]表示背包容量为j时的最大价值
        int[] cnt = new int[V + 1];//背包容量为j时获得最大价值的方案数
        Arrays.fill(cnt, 1);//初始化为1，表示什么物品都不放，这也是一种方案

        for (int i = 1; i <= N; i++){
            for (int j = V; j >= weight[i - 1]; j--){
                int v = dp[j - weight[i - 1]] + value[i - 1];//将第i个物品放入背包后的总价值
                if (v > dp[j]){//如果将第i件物品放入背包获得的总价值大于不放入背包
                    dp[j] = v;//则将其放入背包
                    cnt[j] = cnt[j - weight[i - 1]];
                }else if (v == dp[j]){//如果将第i件物品放入背包获得的总价值等于不放入背包
                    //那将第i件物品放入和不放入背包都可以，两种方案都要计算
                    cnt[j] = (cnt[j] + cnt[j - weight[i - 1]]) % mod;
                }
            }
        }
        return cnt[V];
    }
}