【SCOI2018】—Numazu 的蜜柑（二次剩余）

最新推荐文章于 2020-02-19 15:42:07 发布

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分类专栏：二次剩余

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在Numazu的蜜柑树下，Chika提出了一道关于顶点对和二次剩余的数学问题。通过Cipolla算法求解特定形式的二次方程在模p意义下的解，再利用DFS遍历树结构计数满足条件的顶点对，巧妙结合了数学理论与算法设计。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题面

Numazu 是一座坐落在太平洋西岸的美丽海滨小镇，蜜柑是这里的特产， Chika 最喜欢蜜柑了！这天她来到一棵蜜柑树下，发现这棵树由 $n$ 个结点组成（1 号结点为根节点），每个结点都生长了一些蜜柑，结点 $u$ 的蜜柑数量记为 $a_u$ 。她想问聪明的你这样一个问题，有多少顶点对 $(u, v)$ 满足：

$① v 是 u 的祖先；$

$②a_u^2 + A*a_u*a_v + B*a_v^2 ≡ 0 (mod\ p)。$

她答应送给你好多好多蜜柑作为回礼

考虑化方程

$p)(a_u+\frac A 2a_v)^2\equiv \frac{A-4B}{4}a_v^2\ \ \ (mod\ p)$

$p)a_u\equiv \frac{\underline +\sqrt{A-4B}-A}{2}a_v^2\ \ \ (mod\ p)$

现在就是要解 $A - 4 B$ 在 $pmod\ p$ 意义下的二次剩余
用 $C i p o l l a$ 解一下

在树上跑一遍就完了

$C i p o l l a$ 特判一下为 $0$ 的情况

#include<bits/stdc++.h>
#include<tr1/unordered_map>
using namespace std;
#define gc getchar
#define int long long
inline int read(){
	char ch=gc();
	int res=0,f=1;
	while(!isdigit(ch))f^=ch=='-',ch=gc();
	while(isdigit(ch))res=(res+(res<<2)<<1)+(ch^48),ch=gc();
	return f?res:-res;
}
#define re register
#define pb push_back
#define cs const
#define pii pair<int,int>
#define fi first
#define se second
#define ll long long
int mod;
inline int add(int a,int b){return (a+=b)>=mod?a-mod:a;}
inline void Add(int &a,int b){(a+=b)>=mod?(a-=mod):0;}
inline int dec(int a,int b){return (a-=b)<0?a+mod:a;}
inline void Dec(int &a,int b){(a-=b)<0?(a+=mod):0;}
inline int mul(int a,int b){return (a*b-(ll)((long double)a/mod*b)*mod+mod)%mod;}
inline void Mul(int &a,int b){a=mul(a,b);}
inline int ksm(int a,int b,int res=1){
	for(;b;b>>=1,a=mul(a,a))(b&1)&&(res=mul(res,a));return res;
}
cs int N=100005;
int n,A,B,ans,k1,k2;
vector<int> e[N];
int a[N];
tr1::unordered_map<ll,int> buc;
namespace Cipolla{
	int w;
	struct plx{
		int x,y;
		plx(int _x=1,int _y=0):x(_x),y(_y){}
		friend inline plx operator *(cs plx &a,cs plx &b){
			return plx(add(mul(a.x,b.x),mul(mul(a.y,b.y),w)),add(mul(a.x,b.y),mul(a.y,b.x)));
		}
	};
	inline plx ksm(plx a,int b){
		plx res=plx();
		for(;b;b>>=1,a=a*a)if(b&1)res=res*a;
		return res;
	}
	inline int ksm(int a,int b,int res=1){
		for(;b;b>>=1,a=mul(a,a))(b&1)&&(res=mul(res,a));return res;
	}
	inline int solve(int a){
		if(a==0)return 0;
		if(ksm(a,(mod-1)/2)==mod-1)return -1;
		int b;
		while(1){
			b=rand();
			w=dec(mul(b,b),a);
			if(ksm(w,(mod-1)/2)==mod-1)break;
		}
		return ksm(plx(b,1),(mod+1)/2).x;
	}
}
void dfs1(int u){
	ans+=buc[a[u]];
	int f1=mul(a[u],k1),f2=mul(a[u],k2);
	if(f1==f2)buc[f1]++;
	else buc[f1]++,buc[f2]++;
	for(int &v:e[u])
		dfs1(v);
	if(f1==f2)buc[f1]--;
	else buc[f1]--,buc[f2]--;
}
int tot;
void dfs2(int u){
	if(a[u]==0)ans+=tot,tot++;
	for(int &v:e[u])dfs2(v);
	if(a[u]==0)tot--;
}
signed main(){
	srand(time(NULL));
	n=read(),mod=read(),A=read(),B=read();
	for(int i=1;i<=n;i++)a[i]=read();
	for(int i=2;i<=n;i++){
		int u=read();e[u].pb(i);
	}
	int k=Cipolla::solve(dec(mul(A,A),mul(4,B))),inv2=ksm(2,mod-2);
	if(k==-1)dfs2(1);
	else{
		k1=mul(dec(k,A),inv2),k2=mul(mod-add(k,A),inv2);
		dfs1(1);
	cout<<ans;
}