SCOI2018 D1T2 Numazu的蜜柑【二次剩余】

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二次剩余

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本文介绍了一道涉及树形DP和二次剩余的算法题目，通过Cipolla算法解决特定形式的方程，并使用DFS遍历树状结构来统计满足条件的节点对数量。

题目大意：

给定一棵有 $n$ 个节点的树，每个节点有点权 $a_i$ 给出 $p,A,B$ ，问有多少点对 $(u,v)$ 满足：
1. $v$ 是 $u$ 的祖先。
2. $a_u^2+Aa_ua_v+Ba_v^2\equiv0(\bmod p)$

$n\le 100000,p\in P,3\le p\le 10^{16},0\le A,B<p$

解题思路：

考场上不会二次剩余怎么解，还好暴力有55分……
回来再这里学习了一下解法，好像确实是板题。

用解一元二次方程的方法可得 $a_u\equiv\frac{-A\pm\sqrt{A^2-4B}}{2}a_v(\bmod p)$
若 $A^2-4B$ 为二次剩余，则用Cipolla算法直接计算 $\sqrt{A^2-4B}$ 。
否则答案统计0的对数。
算出 $\sqrt{A^2-4B}$ 后，直接dfs时用map统计即可。
时间复杂度为 $O(nlogp)$ 。

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
using namespace std;
ll getint()
{
    ll i=0,f=1;char c;
    for(c=getchar();(c!='-')&&(c<'0'||c>'9');c=getchar());
    if(c=='-')c=getchar(),f=-1;
    for(;c>='0'&&c<='9';c=getchar())i=(i<<3)+(i<<1)+c-'0';
    return i*f;
}
const int N=100005;
int n,num,tot,first[N],nxt[N],to[N];
ll p,A,B,ans,a1,a2,w,det,a[N];
map<ll,int>cnt;
ll mul(ll x,ll y)
{
    ll res=0;
    for(;y;y>>=1,x=(x+x)%p)
        if(y&1)res=(res+x)%p;
    return res;
}
ll Pow(ll x,ll y)
{
    ll res=1;
    for(;y;y>>=1,x=mul(x,x))
        if(y&1)res=mul(res,x);
    return res;
}
struct Complex
{
    ll x,y;
    Complex(){}
    Complex(ll _x,ll _y):x(_x),y(_y){}
    inline friend Complex operator * (const Complex &a,const Complex &b)
    {return Complex((mul(a.x,b.x)+mul(mul(a.y,b.y),w))%p,(mul(a.x,b.y)+mul(a.y,b.x))%p);}
    inline friend Complex Pow(Complex &a,ll b)
    {
        Complex res=Complex(1,0);
        for(;b;b>>=1,a=a*a)
            if(b&1)res=res*a;
        return res;
    }
};
ll find(ll n)
{
    if(!n)return 0;
    ll a;
    while(1)
    {
        a=rand()%p;
        w=(mul(a,a)-n+p)%p;
        if(Pow(w,(p-1)/2)==p-1)break;
    }
    Complex res=Complex(a,1);
    res=Pow(res,(p+1)/2);
    return res.x;
}
void add(int x,int y)
{
    nxt[++tot]=first[x],first[x]=tot,to[tot]=y;
}
void dfs1(int u)
{
    ans+=cnt[a[u]];
    ll v1=mul(a1,a[u]),v2=mul(a2,a[u]);
    v1==v2?cnt[v1]++:(cnt[v1]++,cnt[v2]++);
    for(int e=first[u];e;e=nxt[e])
        dfs1(to[e]);
    v1==v2?cnt[v1]--:(cnt[v1]--,cnt[v2]--);
}
void dfs2(int u)
{
    if(a[u]==0)ans+=num,num++;
    for(int e=first[u];e;e=nxt[e])
        dfs2(to[e]);
    if(a[u]==0)num--;
}
int main()
{
    //freopen("lx.in","r",stdin);
    //freopen("lx.out","w",stdout);
    n=getint(),p=getint(),A=getint(),B=getint();
    for(int i=1;i<=n;i++)a[i]=getint();
    for(int i=2;i<=n;i++)add(getint(),i);
    det=(mul(A,A)-B*4%p+p)%p;
    if(Pow(det,(p-1)/2)!=p-1)
    {
        det=find(det);
        a1=mul((-A+det+p)%p,Pow(2,p-2));
        a2=mul((-A-det+p+p)%p,Pow(2,p-2));
        dfs1(1);
    }
    else dfs2(1);
    cout<<ans<<'\n';
    return 0;
}