偏门几何体相交检测

博客记录了在做ParticleToy时遇到的偏门几何体相交检测,主要涉及圆柱体和三角面相交,以及球和三角面相交的改良检测方法。这里的“相交”指碰撞检测,球和三角面相交检测通过判断顶点、球心到平面距离及投影点位置等实现。

在做ParticleToy的时候,碰到一些几何体相交检测。常见/简单的,能百度到的,就不说了,记录一些比较偏门的相交测试。

注意,这里的“相交”是“碰撞检测”,也就是体与体的相交,比如三角面完全被球包裹,也算相交,虽然球面与三角面无交点。

1.圆柱体和三角面相交

2.改良:球和三角面相交

属于直接判断球心是否在(三角面+球)的闵可夫斯基和内的判断改良

1.是否任一顶点在球内

2.检测球心到三角面平面的距离d<=R

3.设球心C到三角面平面的投影点为P,则检测:P在三角面内||C在三角形边缘组成的Minkowski sum内

其中,检测 (三角形边+球)的闵可夫斯基和 转为3顶点组成的3个球+三个圆柱,因为这样检测比较方便。

<think>根据用户需求,需要为C++资深开发人员设计偏门算法题。综合引用内容,特别是引用[3]中的概率题和引用[5]的哈夫曼树等非传统算法,我将设计5道偏门但考察深度的算法题。题目将结合数学、概率、特殊数据结构和底层优化。 题目设计如下: 1. **基于斐波那契堆的Dijkstra优化(考察冷门数据结构)** 题目:实现斐波那契堆优化Dijkstra算法,解决单源最短路径问题。 - 要求: - 用C++实现斐波那契堆(支持插入、合并、提取最小值和关键字减少操作) - 基于该堆实现Dijkstra算法,对比普通二叉堆的性能差异 - 输入:有向图$G=(V,E)$(顶点数$|V| \leq 10^4$,边数$|E| \leq 10^5$) - 输出:从源点到各顶点的最短距离 - **偏门点**:斐波那契堆的摊还时间复杂度$O(1)$插入 vs 二叉堆$O(\log n)$ - *参考引用[3]中图算法变体* 2. **概率抽样算法(结合数学)** 题目:用`rand7()`实现`rand10()`,满足均匀分布。 - 要求: - 仅调用`rand7()`(生成1-7均匀整数) - 生成1-10的均匀整数,且调用次数期望值最小 - 数学证明期望调用次数(理论下界约2.45次) - **偏门点**:拒绝采样与概率优化,避免条件分支导致的性能波动 - *引用[3]中概率题的直接应用* 3. **三角形内随机点生成(计算几何)** 题目:在任意三角形ABC内均匀随机生成点。 - 要求: - 输入三角形顶点坐标(保证非退化) - 输出三角形内均匀分布的点坐标 - 分析概率密度函数的正确性(面积坐标参数化) - **偏门点**:用重心坐标$P = aA + bB + cC$($a+b+c=1$, $a,b,c \geq 0$) - *扩展引用[3]中的概率题* 4. **哈夫曼编码变体(带约束的最优二叉树)** 题目:实现带高度约束的哈夫曼编码。 - 要求: - 输入:权值数组$w_1,\dots,w_n$($n \leq 10^3$)和最大高度$H$($H \leq 20$) - 输出:最小化带权路径长度,且树高不超过$H$ - 讨论动态规划解法($O(nH\log n)$ vs 贪心法的局限性) - **偏门点**:经典哈夫曼树(引用[5])的约束扩展 5. **多线程素数筛(并发算法优化)** 题目:用多线程优化埃拉托斯特尼筛法,筛出$[2, N]$的素数($N \leq 10^8$)。 - 要求: - 使用C++线程库(如`std::thread`) - 分区并行处理,避免伪共享(false sharing) - 对比单线程性能加速比(分析内存访问模式) - **偏门点**:并发筛法的缓存行对齐优化 ### 设计理由 - **深度考核**:每道题需结合数学证明(如概率均匀性)或复杂数据结构(斐波那契堆) - **工程结合**:如多线程筛法考察实际性能调优 - **偏门性**:避开常见题(如DP、二分),侧重ACM/竞赛向难题 §§相关问题§§ 1. 斐波那契堆在实际工程中有哪些应用场景? 2. 如何证明随机点生成算法在三角形内均匀分布? 3. 带高度约束的哈夫曼编码有哪些实际应用? 4. 多线程素数筛如何避免伪共享? 5. 拒绝采样法的期望调用次数如何计算? </think> ### 适合C++资深开发笔试题的偏门算法题 以下算法题结合了数学推理、特殊场景优化和非常规数据结构,专为考察C++资深开发者的深度算法能力设计。题目均参考了高级算法场景(如引用[3]的概率题和引用[5]的哈夫曼树变体),并添加了工程约束。 --- #### 1. **非均匀随机数生成器(概率+位运算)** **题目**: 给定一个不均匀的`rand01()`函数,生成0的概率为$p$,生成1的概率为$1-p$ ($0 < p < 1$)。实现一个**均匀的**`uniform_rand(int a, int b)`函数,生成$[a,b]$范围内的整数,且每个数概率相等。 **要求**: - 仅调用`rand01()`作为基础随机源 - 时间复杂度不超过$O(\log(b-a))$ - 禁止使用标准库随机函数 **考察点**: - 概率转换(引用[3]概率题扩展) - 位运算优化采样 - 拒绝采样法的工程实现 **示例代码框架**: ```cpp int rand01(); // 给定不均匀函数 int uniform_rand(int a, int b) { // 实现此处 } ``` --- #### 2. **带权重的蓄水池抽样(流式算法)** **题目**: 设计一个数据流系统,持续接收`(id, weight)`对(权重$w_i > 0$)。实现`void add(int id, double weight)`和`int sample()`方法,其中`sample()`返回一个$id$,且其概率与权重成正比。 **约束**: - 空间复杂度$O(k)$($k$为采样池大小) - 单次`add`操作时间复杂度$O(1)$ - 支持权重动态更新 **偏门点**: - 扩展传统蓄水池抽样(Reservoir Sampling) - 需数学证明概率正确性:$$P(\text{选中第}i\text{个元素}) = \frac{w_i}{\sum_j w_j}$$ **参考**:引用[3]中流式采样场景。 --- #### 3. **哈夫曼树变体:带高度约束的最优编码(贪心+堆优化)** **题目**: 在引用[5]的哈夫曼树基础上增加约束: - 叶子节点权值数组$w_1,\dots,w_n$($n \leq 10^5$, $w_i \geq 1$) - 额外输入最大树高$H$($H \leq 30$) 求**带权路径和最小**的二叉树,且树高不超过$H$。 **输出**: - 中序遍历序列(满足左节点权值$\leq$右节点权值) - 若权值相同,左子树高度$\leq$右子树高度 **难点**: - 经典哈夫曼树不限制高度,需结合**深度惩罚因子**重新设计贪心策略 - 用`std::priority_queue`实现$O(n \log n)$算法 --- #### 4. **多维度最近点对(分治+空间划分)** **题目**: 给定$d$维空间中的$n$个点($n \leq 10^5$, $d \leq 10$),找到欧氏距离最近的点对。 **要求**: - 实现分治算法(类似二维KD-Tree) - 优化剪枝策略:利用$$ \delta\text{-net}$$理论减少距离计算 - 支持动态插入/删除点(可选) **数学关键**: 在$d$维空间,最近点对时间复杂度为$O(n \log n)$,但常数项随维度指数增长$O(2^d)$。需设计维度约简技巧。 --- #### 5. **概率型数据结构:HyperLogLog误差分析** **题目**: 实现HyperLogLog基数估计器,并计算其相对误差$\epsilon$。 **输入**: - 数据流(元素哈希值$h_i \in [0, 2^{64}-1]$) - 桶数$m$($m=2^b$, $b \leq 16$) **输出**: - 基数估计值$\hat{n}$ - 证明相对误差$\epsilon \approx \frac{1.04}{\sqrt{m}}$ **工程要求**: - 用`std::bitset`优化位操作 - 分析哈希函数对误差的影响 **偏门点**:结合概率论(引用[3])与内存优化。 --- ### 设计原则 1. **深度考察**:每道题需结合数学证明(如概率均匀性、复杂度推导) 2. **工程约束**:限制时间/空间复杂度,避免暴力解 3. **冷门场景**:避开常见题(如DP、二分查找),侧重: - 流式算法 - 高维几何 - 概率数据结构 4. **C++特性应用**: - 使用`std::priority_queue`(题3) - 位运算优化(题1) - 内存控制(题5) ---
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