MIT_单变量微积分_17

1.微积分第一基本定理

注释：
如果$F^{\prime }(x)=f(x)$,则${\int }_a^{b}f(x)dx=F(a)-F(b)=F(x){|}_a^b$

Ex:$F(x)=\frac{x^3}{3}$

$F^{\prime }(x)=x^2=f(x),{\int }_a^{b}f(x)dx=F(a)-F(b)=\frac{b^3}{3}-\frac{a^3}{3}$

$当a=0时,{\int }_a^b{x}^{2}dx=\frac{x^3}{3}{|}_0^b=\frac{b^3}{3}$

Ex:求$sinx函数与x轴的阴影面积。（0->\pi ）$
$${\int }_0^{\pi }sinxdx=(-cos\pi ){|}_0^{\pi }=1+1=2$$

2.定积分的几何意义：

x轴上方面积$-$x轴下方面积。

3.性质

• ${\int }_a^b(f(x)+g(x))dx={\int }_a^{b}f(x)dx+{\int }_a^{b}g(x)dx$
• ${\int }_a^{b}Cf(x)dx=C{\int }_a^{b}f(x)dx$
• ${\int }_a^{b}f(x)dx+{\int }_b^{c}f(x)dx={\int }_a^{c}f(x)dx$
• ${\int }_a^{a}f(x)dx=0$
• ${\int }_a^{b}f(x)dx=-{\int }_b^{a}f(x)dx$
• 积分估计：

如果$f(x)>g(x)$,则${\int }_a^{b}f(x)dx\le {\int }_a^{b}g(x)dx(a<b)$

Ex:$e^x\ge 1，x\ge 0$.
${\int }_a^b{e}^{x}dx\ge {\int }_a^{b}1dx$
$e^b-1\ge b$
$e^b\ge 1+b$

Ex:$e^x\ge 1+x,x\ge 0$
${\int }_0^b{e}^{x}dx\ge {\int }_0^b(1+x)dx$
$e^b-1\ge b+\frac{b^2}{2}$
$e^b\ge b+1+\frac{b^2}{2}$

• 变量替换：

${\int }_{u_1}^{u_2}g(u)={\int }_{x_1}^{x_2}g(u(x))u^{\prime }(x)dx$

Ex:${\int }_1^2(x^3+2{)}^5{x}^{2}dx$

令$u=x^2+2,du=3x^2$
原式$={\int }_3^{10}{u}^5\frac{1}{3}du$
$=\frac{1}{18}{u}^6{|}_3^{10}=\frac{10^6}{18}-\frac{3^6}{18}$

Wanning:
$$\begin{gathered} {\int }_{-1}^1{x}^{2}dx≠={\int }_1^{1}u\frac{1}{2\sqrt{u}}du=0 \\ u=x^2,du=2xdx. \\ dx=\frac{du}{2x} \end{gathered}$$

$$u=x^2,u^{\prime }(x)=2x\{\begin{array}{ccc}& >0,& (x>0)\\ & <0,& (x<0)\end{array}$$