费马小定理及其逆命题的应用

最新推荐文章于 2025-07-05 16:11:31 发布

qq_20340417

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分类专栏：费马小定理数论文章标签：费马小定理数论

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/qq_20340417/article/details/78426947

本文探讨了费马小定理及其逆命题在数论中的应用，特别是如何利用其逆命题来辅助判断一个数是否为质数。通过随机选取n，如果np mod p ≠ n，则可以初步排除p为质数的可能性。尽管这种方法存在错误概率，但通过多次验证，如尝试20次，可以在整数范围内有效地提高质数判定的准确性。由于快速幂运算的存在，这种方法的时间复杂度优于传统的平方根算法。

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                    费马小定理：
当 n 为整数， 
    
    p 
    为质数时，满足 np−1 mod p=1

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用费马小定理做素性测试

qq_23581569的博客

10-12

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自大一以后再次用C，现在做一道OJ题用费马小定理判断素性顺便把过程发上来吧总结记录一下 #define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS #include #include #include long long pow(long long x, long long y, long long n){ // 递归求a^(n-1)mod n的值 if (y == 0)ret

【python算法系列十三】素性检验算法

m0_70372647的博客

05-27

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你能很迅速地找出两个比 1000 大的素数吗？你能很迅速地分辨 754729 是哪两个素数的乘积吗？实际上，因为素数相对密集，所以我们可以相对迅速地找出两个大的素数。但是，现在还没有已知算法能够有效地分解乘机中的因子。因此，在现代密码学中，利用这个时间差距，计算机科学家们发明了安全的加密系统，如 RSA 与 Rabin。简单来说，加密信息的人需要随机地找出两个素数并且公开它们的乘积，如果他人想要破解信息的话必须分解被公开的乘积。这样，只要加密的人找到两个足够大的素数，第三方就没有方法破解信息。但是，

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Nothing_227的博客

09-27

821

要求(A/B)%9973，但由于A很大，我们只给出n(n=A%9973)(我们给定的A必能被B整除，且gcd(B,9973) = 1)。 Input 数据的第一行是一个T，表示有T组数据。每组数据有两个数n(0 <= n < 9973)和B(1 <= B <= 10^9)。 Output 对应每组数据输出(A/B)%9973。 Sample Input 2...

费马小定理及其应用

半杯的博客

09-05

4074

费马小定理 一定理内容如果p是质数，并且a不是p的倍数。那么就有ap−1=1(mod p)a^{p-1} = 1(mod\space p)ap−1=1(mod p) 其次我们还需要去了解逆元的意义对于正整数a和p，如果有ax≡1(mod p)ax\equiv 1(mod\space p)ax≡1(mod p) ，那么称x的最小整数解为a模p的逆元由上面的结论我们可以得到a的逆元其实就是ap−2a^{p-2}ap−2 ,对于这个数我们可以使用快速幂来计算结果

互逆命题与互逆定理.zip

11-21

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02-13

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费马小定理简单证明和一些简单应用

徒手拆机甲的博客

03-17

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打字不变就在纸上证明好了1 这种证法是一种很巧妙的方法，避免了一些复杂概念的引入，很简单的证明了费马小定理 那么费马小定理具体有什么地方可以应用呢 1.我们可以用它判断一些大数是否为质数也就是Miller-Rabin 素数判定算法，它主要运用了费马小定理和二次探索定理，再次不深入探究，只是提出 2.对于计算ab(modp)ab(modp) 可简化对于素数p，任取跟他互素的数a，有a^(p-1)...

费马小定理 -- 讲解

playwfun的专栏

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使用费马小定理求解逆元

haoran的博客

08-18

1255

费马小定理 费马小定理：假如a是一个整数，p是一个质数，那么如果b是p的倍数，bp≡b(modp)b^p \equiv b(mod p)bp≡b(modp) 如果b不是p的倍数，bp−1≡1(modp)b^{p - 1} \equiv 1(mod p)bp−1≡1(modp) 同余式：a≡b(modp)a \equiv b(mod p)a≡b(modp)表示a和b对模p同余，即正整数a - b能被p整除，(a−b)%p=0(a - b) \% p = 0(a−b)%p=0 证明：略使用费马

卢卡斯定理，费马小定理的应用

此博客已废弃

08-14

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牛客多校第八场G：传送门卢卡斯定理：C(n,m)%p=C(n/p,m/p)*C(n%p,m%p)%p，组合数的取模 费马小定理：当p为质数时候， a^(p-1)≡1(mod p)， a*a^(p-2)≡1(mod p) 费马小定理求解逆元：(a/b)%m 时，因b可能会过大，会出现爆精度的情况，所以需变除法为乘法：设c是b的逆元，则有b*c≡1(mod m)； b*b^...

费马小定理求逆原理及c++代码模板

02-25

<think>嗯，用户想要了解费马小定理求逆的原理以及对应的C++代码模板。首先，我需要回忆一下费马小定理的具体内容。费马小定理是说，如果p是一个质数，而a不是p的倍数，那么a的(p-1)次方模p等于1。数学表达式就是a^(p-1) ≡ 1 mod p。这样的话，如果我们想求a在模p下的逆元，也就是一个数x，使得a*x ≡1 mod p，可以利用这个定理。那如何用费马小定理来求逆元呢？因为根据定理，a^(p-1) ≡1 mod p，所以两边同时乘以a的逆元，应该能得到a^(p-2) ≡x mod p。所以逆元x就是a的(p-2)次方模p的结果。不过这里的前提是p必须是质数，而且a和p互质，也就是a不是p的倍数。这点需要特别注意，如果p不是质数，就不能用费马小定理来求逆元了，可能需要用扩展欧几里得算法。接下来是C++代码部分。通常求快速幂可以用递归或者迭代的方法。这里可能需要一个快速幂函数来计算a的(p-2)次方mod p。比如，写一个函数叫做pow_mod，参数是a、b（指数）、mod，返回a^b % mod的值。然后，在求逆元的时候，调用这个函数，传入a，p-2，p。需要注意的是，如果p不是质数，或者a和p不互质，这种情况下求逆元会出错，所以代码里可能需要做一些错误处理。那用户可能的应用场景是什么呢？可能是在做算法题的时候需要计算模逆元，比如组合数计算或者模运算下的除法。这时候费马小定理提供了一种快速求解的方法，但必须保证模数是质数。比如常见的模数1e9+7就是一个质数，这时候用费马小定理比较方便。另外，要提醒用户，当p不是质数时，这个方法不适用，这时候应该使用扩展欧几里得算法来求逆元。所以在代码里可能需要根据情况选择不同的方法，但用户现在的问题可能只需要费马小定理的情况。现在考虑代码模板的结构。首先快速幂的实现，迭代法可能效率更高，避免递归的栈开销。快速幂函数的大致结构是初始化结果为1，然后循环指数的每一位，如果当前位是1，就乘上当前的a的幂，同时每次a自乘并取模。然后，逆元函数就调用快速幂，计算a^(p-2) mod p。同时，在调用之前需要检查p是否为质数，但可能在模板中这部分检查会被省略，因为判断质数本身也需要时间，尤其是当p很大时。所以用户需要自己确保p是质数，否则结果不正确。可能的测试例子，比如p=7，a=3，那么逆元应该是5，因为3*5=15≡1 mod7。用代码计算的话，3^(7-2)=3^5=243，243 mod7是多少？243/7=34*7=238，余5，所以正确。所以代码的大致结构应该是： #include <iostream> using namespace std; long long pow_mod(long long a, long long b, long long mod) { long long res = 1; while (b > 0) { if (b % 2 == 1) { res = (res * a) % mod; } a = (a * a) % mod; b /= 2; } return res; } long long inv_mod(long long a, long long p) { return pow_mod(a, p-2, p); } int main() { long long a = 3, p = 7; cout << inv_mod(a, p) << endl; // 应该输出5 return 0; } 这里需要注意数据类型的范围，如果mod很大，比如1e18的话，可能需要使用更大的类型，但通常用long long足够了。另外，当a和p不互质时，这个函数会返回错误的结果，所以用户需要确保输入的a和p满足条件。有没有可能的情况，即使p是质数，但a是p的倍数？此时a mod p等于0，所以求逆元是不可能的，代码返回0，但实际这种情况应该报错。所以在实际应用中可能需要添加条件判断，比如如果a%p ==0，则返回无解。但可能在模板中这部分没有处理，用户需要自己注意。所以，总结回答的时候需要说明原理是基于费马小定理，将逆元转化为a^(p-2) mod p，并给出代码示例，同时强调p必须是质数且a和p互质，否则方法不适用。</think>### 费马小定理求逆元原理 **费马小定理**指出：若 \( p \) 为质数，且 \( a \) 与 \( p \) 互质（即 \( a \nmid p \)），则： \[ a^{p-1} \equiv 1 \ (\text{mod} \ p) \] 将两边同乘以 \( a^{-1} \)（模 \( p \) 的逆元），得到： \[ a^{p-2} \equiv a^{-1} \ (\text{mod} \ p) \] 因此，逆元可通过计算 \( a^{p-2} \ \text{mod} \ p \) 得到。 **前提条件**： - \( p \) 必须为质数。 - \( a \) 和 \( p \) 必须互质（即 \( a \neq kp \)）。 --- ### C++ 代码模板 #### 快速幂取模函数 ```cpp #include <iostream> using namespace std; // 快速幂取模：计算 (a^b) % mod long long pow_mod(long long a, long long b, long long mod) { long long res = 1; while (b > 0) { if (b % 2 == 1) // 等价于 b & 1 res = (res * a) % mod; a = (a * a) % mod; b /= 2; // 等价于 b >>= 1 } return res; } // 费马小定理求逆元：返回 a 在模 p 下的逆元 long long inv_mod(long long a, long long p) { return pow_mod(a, p - 2, p); } int main() { long long a = 3, p = 7; // 示例输入 cout << "逆元：" << inv_mod(a, p) << endl; // 输出 5 return 0; } ``` --- ### 注意事项 1. **错误处理**：若 \( p \) 非质数或 \( a \) 是 \( p \) 的倍数，结果将不正确。需额外检查输入合法性。 2. **时间复杂度**：快速幂的时间复杂度为 \( O(\log p) \)，效率极高。 3. **替代方法**：当 \( p \) 非质数时，需改用扩展欧几里得算法求逆元。 --- ### 示例验证 - 输入 \( a=3, p=7 \)，计算 \( 3^{7-2} \mod 7 = 3^5 \mod 7 = 243 \mod 7 = 5 \)。 - 验证：\( 3 \times 5 = 15 \equiv 1 \ (\text{mod} \ 7) \)，结果正确。