组合数学——特征方程与线性递推方程

组合数学——特征方程与线性递推方程

大多数计数问题都可以表示成线性的递推关系，而特征方程是解决这些线性递推关系的有利工具。

一个度为 $k$ 的 线性齐次常系数递推方程 指的是具有如下形式的方程：

$$a_n=c_1{a}_{n-1}+c_2{a}_{n-2}+\dots +c_k{a}_{n-k}$$

这里 $c_1,c_2,\dots ,c_k$ 都是实数，并且 $c_k\ne 0$ 。

解决线性齐次常系数递推方程

解决线性齐次常系数递推方程的基本原理是设 $a_n$ 具有 $a_n=r^n$ 的形式，因此如果 $a_n=r^n$ 是其递推方程的一个解的话，那么：

$$r^n=c_1{r}^{n-1}+c_2{r}^{n-2}+\dots +c_k{r}^{n-k}$$

移项得到：

$$r^k-c_1{r}^{k-1}-c_2{r}^{n-2}-\dots -c_{k-1}r-c_k=0$$

这是一个一元 $k$ 次多项式方程，我们将整个方程称作是 特征方程 ，其中 $r$ 称为特征根。

在所有的线性齐次常系数递推方程中，度为 $2$ 的递推方程是最具有研究价值的，现在让我们来看看这类方程的解法。

定理一：令 $c_1$ 和 $c_2$ 是实数。假设特征方程 $r^2-c_{1}r-c_2=0$ 有两个不相同的特征根 $r_1$ 和 $r_2$ ，递推方程 $a_n=c_1{a}_{n-1}+c_2{a}_{n-2}$ 存在封闭形式的解，当且仅当解为 $a_n={\alpha }_1{r}_1^n+{\alpha }_2{r}_2^n$ ，其中 ${\alpha }_1$ 和 ${\alpha }_2$ 均为常数。

并且 ${\alpha }_1=\frac{C_1-C_0{r}_2}{r_1-r_2}$ 和 ${\alpha }_{1}2=\frac{C_0{r}_1-C_1}{r_1-r_2}$ 。

上述的定理正确性显然，可以用来解决度为 $2$ 的递推方程的通解问题，例如斐波那契数量的封闭形式的解。

下面的定理给出了只有一个特征根的情况。

定理二：令 $c_1$ 和 $c_2$ 是实数。假设特征方程 $r^2-c_{1}r-c_2=0$ 只有一个的特征根 $r_0$ ，递推方程 $a_n=c_1{a}_{n-1}+c_2{a}_{n-2}$ 存在封闭形式的解，当且仅当解为 $a_n={\alpha }_1{r}_0^n+{\alpha }_{2}n{r}_0^n$ ，其中 ${\alpha }_1$ 和 ${\alpha }_2$ 均为常数。

定理三给出了度为 $k$ 的递推方程的通解形式。

定理三：令 $c_1,c_2,\dots ,c_k$ 都是实数。假设特征方程 $r^k-c_1{r}^{k-1}-\dots -c_k=0$ 有 $k$ 个不同的特征根 $r_1,r_2,\dots ,r_k$ ，递推方程 $a_n=c_1{a}_{n-1}+c_2{a}_{n-2}+\dots +c_k{a}_{n-k}$ 存在封闭形式的解，当且仅当解为 $a_n={\alpha }_1{r}_1^n+{\alpha }_2{r}_2^n+\dots +{\alpha }_k{r}_k^n$ ，其中 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ,{\alpha }_k$ 均为常数。

定理四指出，如果存在重度为 $m$ 的特征根 $r$ ，那么封闭形式中 $r$ 前面的系数应该是一个 $m-1$ 次关于 $n$ 的多项式，即 $P(n)r^n$ 。

定理四：令 $c_1,c_2,\dots ,c_k$ 都是实数。假设特征方程 $r^k-c_1{r}^{k-1}-\dots -c_k=0$ 有 $t$ 个不同的特征根 $r_1,r_2,\dots ,r_t$ ，其重度为 $m_1,m_2,\dots ,m_t$ 并且满足 $\sum m=k$，递推方程 $a_n=c_1{a}_{n-1}+c_2{a}_{n-2}+\dots +c_k{a}_{n-k}$ 存在封闭形式的解，当且仅当解为 $a_n=P_{m_1-1}(n)r_1^n+P_{m_2-1}(n)r_2^n+\dots +P_{m_t-1}(n)r_t^n$ ，其中 $P_d(n)$ 是关于 $n$ 的常系数的 $d$ 次多项式。

线性非齐次常系数递推方程

上面我们介绍了特征根法解决一般的线性齐次常系数递推方程，那有没有相似的办法解决线性非齐次常系数递推方程呢？答案是肯定的。

一个 线性非齐次常系数递推方程 指的是具有如下形式的方程：

$$a_n=c_1{a}_{n-1}+c_2{a}_{n-2}+\dots +c_k{a}_{n-k}+F(n)$$

其中 $F(n)$ 是关于 $n$ 且不恒为 $0$ 的函数。

$$a_n=c_1{a}_{n-1}+c_2{a}_{n-2}+\dots +c_k{a}_{n-k}$$

称为关联齐次常系数递推方程。

下面的定理指出线性非齐次常系数递推方程解的形式。

定理五：线性非齐次常系数递推方程的解为 {an(p)+an(h)}\{a_n^{(p)} + a_n^{(h)}\}{an(p)​+an(h)​} 。其中 $a_n^{(p)}$ 是该线性非齐次常系数递推方程的特解， $a_n^{(h)}$ 是关联齐次常系数递推方程的解，称为通解。

那么如何确定其中一个特解呢？这就需要一些猜测技巧，幸运的是，前人已经给出了如果 $F(n)$ 是一个指数多项式函数的一般解法。

定理六：若线性非齐次常系数递推方程的非齐次部分为 $F(n)=(b_t{n}^t+b_{t-1}{n}^{t-1}+\dots +b_{1}n+b_0)s^n$ 其中 $b_i$ 均为常数，并且 $s$ 也不是通解中的特征根，其特解具有 $(p_t{n}^t+p_{t-1}{n}^{t-1}+\dots +p_{1}n+p_0)s^n$ 的形式，其中 $p_i$ 均为常数。若 $s$ 是特征根且重度为 $m$，那么特解的形式为 $n^m(p_t{n}^t+p_{t-1}{n}^{t-1}+\dots +p_{1}n+p_0)s^n$ 。