LCA算法

• 问题：给出一棵树，求两个节点的最近公共祖先。
• 算法1
• 每次让两个点中深度大的点向上跳，直到两个点相交。很明显，当数据是一条链时，每次询问的时间复杂度可达到O(n)。
• 算法2
• 我当时做这个问题时不知道正解，于是自己想了一个算法，性能还可以。
• 我们将有不止一个子节点的节点定义为“关键节点”，lb[x]表示从x向上找找到的第一个关键节点，lt[x]表示从x向上找，直到找到一个节点，该节点的父亲是关键节点，lt[x]即为这个节点的编号。
• 每次询问时，如果lt[x]=lt[y]，那么说明两个点在同一条链上，返回两个节点中深度较小的；如果lb[x]=lb[y]，说明两个点向上跳最终会到他们向上的第一个“关键节点”，因此返回它们向上找的关键节点。如果上述两种情况都不符合，则深度大的向上跳到它的lb，重复上述步骤。
• 如果数据是一条链，且每个点都有两个分叉，那么复杂度会退化到O(n)。
• 算法3
• 我们对树进行dfs，每次进入/退出一个节点时将这个节点的编号加入一个列表。这个列表就叫做dfs序。
• 假设a与b的最近公共祖先是c，那么dfs序的记录会先访问c，然后访问a，然后返回c，然后访问b，然后再返回c。所以有这样一个性质：a与b的最近公共祖先是dfs序中a与b之间深度最小的一个节点。为什么是深度最小的节点？因为访问完最近公共祖先后才会返回最近公共祖先的父亲，因此深度更小的最近公共祖先的父亲不会出现在a与b之间。
• 这样它就转换成了对于每次询问，求两个点之间的最小数。可以用线段树解决。
• 该算法预处理O(n)，每次询问O(logN)。
• 拓展一下，既然它变成了一个区间最小数问题，那么应该可以支持插入新节点，每次插入新节点就在bfs序中它的父亲后插入两个该节点编号。然后改为使用lct维护。
• 算法4
• tarjan..其实我也不是很会。也是dfs树，然后每当遍历完一棵子树，若有未完成的询问且该询问两个点都在该子树内，那么这个询问的答案就是当前遍历完子树的根节点。
• 该算法是离线算法，预处理O(n)，每个询问O(1)。