数列特征方程学习小记

参考资料：《组合数学》

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特征方程这个东西是用来求非齐次常数递推式的通项公式的，简单地说，就是：

有一数列$f$,$f[0..(k-1)]$为定值；
对于$f[i](i>=k)$,有$f[i]={\sum }_{j=1}^{k}f[i-j]\ast b[j]$；
$b[j]$为常数；
那么$f[i]$可以用${\sum }_{i=1}^{k}s[i]\ast p[i{]}^n$的通项公式表示。

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由于很多证明过程书上也没写，所以……

假设$f[n]$是可以直接用一个$p^n$来表示，则有：
$s\ast p^n-{\sum }_{j=1}^{k}s\ast p^{n-j}\ast b[j]=0$
$p^n-{\sum }_{j=1}^k{p}^{n-j}\ast b[j]=0$
$p^k-{\sum }_{j=1}^k{p}^{k-j}\ast b[j]=0$
其实这就是一个k次的方程：
那么p一定为这个k次方程的根。

其实这个这个方程就叫做这个数列的特征方程。

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最简单的情况：
特征方程有k个不同的根。

把这k个根设为$p1,p2,\dots ,pk$

若$f[n]={\sum }_{i=1}^{k}p[i{]}^n\ast s[i]$
其实我们可以根据初值列出关于s的方程：
$p[1{]}^0\ast s[1]+p[2{]}^0\ast s[2]+\dots +p[k{]}^0\ast s[k]=F[0]$
$p[1{]}^1\ast s[1]+p[2{]}^1\ast s[2]+\dots +p[k{]}^1\ast s[k]=F[1]$
$\dots$
$p[1{]}^{k-1}\ast s[0]+p[2{]}^{k-1}\ast s[2]+\dots +p[k{]}^{k-1}\ast s[k]=F[1]$

这是个范德蒙矩阵，范德蒙矩阵有解的条件就是$P$互不相同。

所以特征方程有k个不同的根时我们一定能解出s，那么就得到了数列的通项公式。

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如果$P$有重复怎么办，设一个根$p$重复了$c$次，我们可以用$p,p\ast n,p\ast n^2,\dots ,p\ast n^c$去等效替代。

证明：
代填

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斐波拉契数列的通项公式：
$f[0]=0,f[1]=1,f[i](i>=2)=f[i-1]+f[i-2]$

特征方程为：
$x^2-x-1=0$

该方程有两个不同的实数根：
$p1=\frac{1+\sqrt{5}}{2},p2=\frac{1-\sqrt{5}}{2}$

代入$f[0]、f[1]$，可得方程：
$p{1}^{0}s1+p{2}^{0}s2=0$
$p{1}^{1}s1+p{2}^{1}s2=1$

解得：
$s1=\sqrt{5},s2=-\sqrt{5}$

∴$f[n]=\frac{1}{\sqrt{5}}((\frac{1+\sqrt{5}}{2}{)}^n-(\frac{1-\sqrt{5}}{2}{)}^n)$