【计算复杂性理论】证明复杂性（Proof Complexity）（一）：简介

证明复杂性介绍

1. 问题引入

我们知道，勾股定理有超过350种证明。^[1]上中学的时候，我们只需要能给出一个证明就可以了；但是怎么衡量证明的好坏呢？一般来讲，我们倾向于认为简洁的、优雅的证明是好的。那这个又怎么体现呢？我们可以用证明的长度来衡量它的简洁程度。写出来最短的证明就是最简洁的，而简洁的证明一般更容易理解，因此也是最好的。

但是，即使是同一种证明，每个人写出来的长度也可能有所不同。那么怎么能让同一种证明有一种固定的写法呢？这就是证明论（Proof Theory）要研究的内容了。在证明论中，证明（即形式化的证明，formal proof）被定义为包含一些符号的字符串，它必须满足一些明确的规则并证明一个定理，而这个定理也是由符号组成的字符串表达的。^[2]那么，证明就不能随便写出来，而是必须根据规则来写，从而保证同一种证明方法写出来的证明是完全一样的。这样，我们就可以通过衡量证明的长度来评价证明的好坏了。

写出证明的过程需要用到数理逻辑。一般的定理是用一阶逻辑写出来的，不过我们在这篇文章中不讨论一阶逻辑，而是讨论命题逻辑（propositional logic）。命题逻辑最基本的单位是命题变量（布尔变量），也就是只能取$1$（true）或$0$（false）的变量。变量可以由连接词（connective）连接起来，形成命题公式。赋值（assignment）就是给每个变量一个值，这样一个命题公式就有了一个确定的值。一个文字（literal）就是一个命题变量或它的否定。如果一个布尔公式在所有赋值下的值都是$1$，那么称它为永真式（tautology）。

如果一个布尔公式在某一赋值下的值为$1$，则称其为可满足的（satisfiable）。否则，若它在任何赋值下的值都为$0$，则称其为不可满足的（unsatisfiable）。

我们说一个公式集合$T$蕴含公式$\alpha$，记作$T\models \alpha$，就是说任何使$T$中每个公式都为真的赋值都使$\alpha$为真。如果公式$\alpha$、$\beta$满足$\beta \models \alpha$，就相当于$\neg \beta \vee \alpha$是永真式。两个公式$\alpha$、$\beta$是逻辑等价的当且仅当$\beta \models \alpha$且$\alpha \models \beta$。

证明复杂性一般研究的是命题逻辑中永真式的证明长度。这和计算复杂性理论有什么关系呢？一方面，我们的最终目的是让计算机自动寻找证明，所以这就涉及到了计算复杂性。另一方面，计算机想要找到一个证明所花费的时间首先至少是证明的长度，如果短证明不存在，那么计算机所花费的时间也注定是很长的。因此，研究短证明是否存在，是研究计算机自动寻找证明的前提条件。

证明复杂性是SAT求解的基石。我们知道，一个算法如果能判定一个布尔表达式是否满足，必须在它不可满足的时候给出对于它不可满足的证明。你可能会问，一个判定算法只要正确地判定布尔表达式是否可满足就可以了，为什么还要给出证明呢？因为，如果算法确实是正确的，那么它判定某个布尔表达式不可满足的事实就是一个证明。所以，想要设计出能够判定可满足性的算法，就必须让算法能够给出不可满足性的证明。对公式$A$不可满足性的证明，就是对$\neg A$是永真式的证明，因此证明的长度SAT算法复杂度的下界。如果某些不可满足的公式只有指数级长度的证明（即最短证明的长度是公式长度的指数函数），那么SAT求解器证明它不可满足至少要花费指数级的时间，也就是说SAT求解器的最坏运行时间是指数级别的，从而我们可以判断SAT问题没有多项式时间的算法，进而证明$\mathsf{P}\ne \mathsf{NP}$。

那么是不是所有的永真式都有短证明（一般说短证明就是多项式大小的证明）呢？这仍是一个未解决的问题，而且这个问题实际上就是$\mathsf{NP}\stackrel{?}{=}\mathsf{coNP}$问题的另一种说法。我们以后将会看到这一点。

2. 一些定义

我们可以把一个命题公式表示成一个树形结构，比如公式$\neg (\neg (a\vee b)\wedge (a\vee (c\wedge \neg d)))$就可以表示成