【计算复杂性理论】证明复杂性（三）：弗雷格（Frege）与扩展弗雷格（Extended Frege）证明系统

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• 【计算复杂性理论】证明复杂性（Proof Complexity）（一）：简介
  
• 【计算复杂性理论】证明复杂性（二）：归结（Resolution）与扩展归结（Extended Resolution）证明系统

弗雷格也是一个演算式证明系统，它的特点是允许我们用一个有限的规则集合中的规则对公式进行操作。“弗雷格系统”这个术语是由Cook和Reckhow^[2]提出的，不过在数理逻辑中它一般被称作希尔伯特风格的演算（Hilbert-style calculi）。

一、弗雷格证明系统

设$L$是命题逻辑的一个有限且完备的语言。也就是说，$L$包含由某些布尔函数定义的有限个连接词（可能包含零元连接词，即常数$0$和$1$），并且具有任何变量个数的任何布尔函数都可以由$L$组成的公式定义（这称为$L$的完备性）。一个著名的例子是德·摩根语言（DeMorgan Language），它包含无限个布尔变量、常数$0$和$1$、否定连接词$\neg$、合取连接词$\wedge$、析取连接词$\vee$和逗号（$,$）。

定义1（弗雷格规则） 设$L$是命题逻辑的一个有限完备语言。令$l\ge 0$。一个$l$元弗雷格规则（$l$-ary Frege rule）是一个包含$(l+1)$个$L$组成的公式的元组$(A_0,A_1,\cdots ,A_l)$，通常写作$$\begin{gathered} \underline{A_1,A_2,\cdots ,A_l} \\ {A}_0 \end{gathered}$$使得$A_1,A_2,\cdots ,A_l\models A_0$（即$A_1,A_2,\cdots ,A_l$可推出$A_0$）。$A_1,A_2,\cdots ,A_l$称为规则的假设（hypotheses），$A_0$称为其结果（consequence）。一个没有假设的规则（即$l=0$）称为一个弗雷格公理模式（Frege axiom scheme），简单地写作$A_0$。

例如，假言推理（modus ponens）就是一个二元弗雷格规则，它被定义为$$\begin{gathered} \underline{p,p\to q} \\ q \end{gathered}$$弗雷格公理模式的一个例子是排中律（tertium non datur）：$$p\vee \neg p$$它不需要任何前提就自动成立。

定义2（弗雷格证明） 设$F$是一个有限的弗雷格规则集合，它定义在有限完备语言$L$上。从$L$公式$B_1,B_2,\cdots ,B_t$推出$L$公式$C$的一个$F$证明就是一系列$L$公式的集合$D_1,D_2,\cdots ,D_k$，使得：

• $D_k=C$；
• ∀ i ∈ { 1 , 2 , ⋯   , k } \forall i\in\{1,2,\cdots,k\} ∀i∈{ 1,2,⋯,k}，
  • 要么$F$中存在一个$l$元弗雷格规则$$\begin{gathered} \underline{A_1,A_2,\cdots ,A_l} \\ {A}_0 \end{gathered}$$且存在$j_1,\cdots ,j_l<i$和一个替换$\sigma$使得$\sigma (A_k)=D_{j_k}(k=1,2,\cdots ,l)$且$\sigma (A_0)=D_i$（也就是说把这个规则用在$D_{j_1},D_{j_2},\cdots ,D_{j_k}$上得到$D_i$），
  • 要么有 D i ∈ { B 1 , ⋯   , B t } D_i\in\{B_1,\cdots,B_t\} Di​∈{ B1​,⋯,Bt​}。

比如，设$t=2$，$B_1=a\vee b$，$B_2=(a\vee b)\to (c\wedge \neg d)$，$F$中只有一条规则：假言推理$$\begin{gathered} \underline{p,p\to q} \\ q \end{gathered}$$现在定义替换$\sigma$使得$p$被替换为$a\vee b$，$q$被替换为$c\wedge \neg d$，应用假言推理即可得到结果$c\wedge \neg d$，从而我们推出了$C=c\wedge \neg d$。我们有$D_1=B_1$，$D_2=B_2$，$D_3=C$。

我们用$\pi :B_1,B_2,\cdots ,B_t{⊢}_{F}C$来表示$\pi =(D_1,D_2,\cdots ,D_k)$是从$B_1,B_2,\cdots ,B_t$推出$C$的一个$F$证明（如果$F$明确则省略下标$F$）。用$B_1,B_2,\cdots ,B_t{⊢}_{F}C$来表示存在一个从$B_1,B_2,\cdots ,B_t$推出$C$的证明。

定义3（可靠性和完备性） 设$L$是命题逻辑的一个有限完备语言。对于一个定义在$L$上、由有限个弗雷格规则组成的弗雷格证明系统$F$，如果对于任意$L$公式$B_1,B_2,\cdots ,B_t,C$，$B_1,B_2,\cdots ,B_t\models C$当且仅当$B_1,B_2,\cdots ,B_t{⊢}_{F}C$，则称$F$是可靠的（sound）和推理完备的（implicationally complete）。

一个经典的例子是Łukasiewicz^[3]提出的非常简洁的弗雷格系统。它定义在语言 L = { ¬ , → } L=\{\neg,\to\} L={ ¬,→}上，只有一条一个元数大于$0$的规则——假言推理，以及三条公理模式：

• $p\to (q\to p)$；
• $[p\to (q\to r)]\to [(p\to q)\to (p\to$