【计算复杂性理论】证明复杂性（二）：归结（Resolution）与扩展归结（Extended Resolution）证明系统

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• 【计算复杂性理论】证明复杂性（Proof Complexity）（一）：简介

归结证明系统是一种非常简单、非常优雅的证明系统，它在SAT求解和自动定理证明中有广泛应用。

在这篇文章中，我们规定输入是子句集，也就是一些子句的集合，它们和合取范式是等价的。合取范式的子句组成的集合就是子句集；子句集可满足等价于对应的合取范式可满足。

一、基础定义

为了方便表示文字$l$及其否定，我们定义$l^{\epsilon }=\{\begin{array}{ll}l,& \epsilon =1\\ \neg l,& \epsilon =0\end{array}$。当$l$被赋值为$\epsilon$时，$l^{\epsilon }=1$。

在演算式证明系统中，证明是由证明步骤（proof steps）（也叫证明行，proof lines）组成的。证明的每个步骤可能是一个公式，一系列公式或具有某种形式的公式，具体取决于演算的规则。定义$\mathbf{k}(\pi )$为证明$\pi$的步骤数（行数）；证明系统$P$中永真式$\alpha$最短证明的步骤数记作${\mathbf{k}}_P(\alpha )$。

二、归结证明系统

归结证明系统的每一行是一个子句（即简单析取式）$C:l_1\vee l_2\vee \cdots \vee l_w$，常写作集合 { l 1 , l 2 , ⋯   , l w } \{l_1,l_2,\cdots,l_w\} { l1​,l2​,⋯,lw​}。子句 C ∪ { l } C\cup\{l\} C∪{ l}简写作$C,l$。归结证明系统只有一条规则，即归结规则：$$\begin{gathered} \underline{C,lD,\neg l} \\ C\cup D \end{gathered}$$比如你有两个子句$a\vee b\vee l$和$b\vee \neg l\vee c$，那么你就可以得到子句$a\vee b\vee c$。

归结规则是可靠的，因为$(C\vee l)\wedge (D\vee \neg l)\models C\vee D$。可以这么理解：若$C\vee l$成立，则$C\vee D\vee l$成立；若$D\vee \neg l$成立，则$C\vee D\vee \neg l$成立；将这两个推论结合得到$C\vee D$成立。

归结是一个反驳证明系统（refutation proof system）：它不是用来证明一个公式是永真式的，而是证明一个公式不可满足。归结从输入的几个子句开始，不断应用归结规则推出新的子句，最后得到空子句$\varnothing$就说明输入的合取范式是不可满足的（合取范式就是一些子句的合取）。

定义1 设$\mathcal{C}$是一个子句集。$\mathcal{C}$的一个归结反驳是一系列子句$D_1,D_2,\cdots ,D_k$，满足：

• 对于任意$i\le k$，$D_i$要么属于$\mathcal{C}$，要么是从$D_u$和$D_v$通过归结规则推出来的；
• $D_k=\varnothing$。

此时，归结反驳的步数就是$k$。

下面我们来证明归结证明系统的完备性（completeness），即每个不可满足的子句集都有一个归结反驳。

定理2 设$\mathcal{C}$是一个不可满足的子句集（即合取范式的各个子句组成的集合），则存在对$\mathcal{C}$的一个归结反驳。

证明：设$\mathcal{C}$涉及$n$个变量，令$p$是其中任意一个变量。我们可以把$\mathcal{C}$分成四部分：

• C 0 , 0 = { D ∈ C ∣ D 不含 p 或 ¬ p } \mathcal{C}_{0,0}=\{D\in \mathcal{C}|D\text{不含}p\text{或}\neg p\} C0,0​={ D∈C∣D不含p或¬p}
• C 1 , 0 = { D ∈ C ∣ D 含 p 但不含 ¬ p } \mathcal{C}_{1,0}=\{D\in \mathcal{C}|D\text{含}p\text{但不含}\neg p\} C1,0​={ D∈C∣D含p但不含¬p}
• C 0 , 1 = { D ∈ C ∣ D 不含 p 但含 ¬ p } \mathcal{C}_{0,1}=\{D\in \mathcal{C}|D\text{不含}p\text{但含}\neg p\} C0,1​={ D∈C∣D不含p但含¬p}
• C 1 , 1 = { D ∈ C ∣ D 含 p 和 ¬ p } \mathcal{C}_{1,1}=\{D\in \mathcal{C}|D\text{含}p\text{和}\neg p\} C1,1​={ D∈C∣D含p和¬p}（这种情况不用考虑，因为$p\vee \neg p\iff 1$自动满足）

设$R(u,v)$代表$u$和$v$归结所得的子句。令 H = { R ( u , v ) ∣ u ∈ C 1 , 0 , v ∈ C 0 , 1 } \mathcal{H}=\{R(u,v)|u\in\mathcal{C}_{1,0},v\in\mathcal{C}_{0,1}\} H={ R(u,v)∣u∈C1,0​,v∈C0,1​}，也就是只含$p$和只含$\neg p$的子句归结所得的所有子句的集合。那么${\mathcal{C}}_{0,0}\cup \mathcal{H}$是不可满足的。这是因为，倘若一个赋值满足了${\mathcal{C}}_{0,0}\cup \mathcal{H}$中的每个子句，那么它就会满足${\mathcal{C}}_{0,1}$的全部子句或者${\mathcal{C}}_{1,0}$的全部子句。否则的话，如果它不满足${\mathcal{C}}_{0,1}$中的一个子句$u\vee \neg p$也不满足${\mathcal{C}}_{1,0}$中的一个子句$v\vee p$，那么它也不会满足$R(u\vee \neg p,v\vee p)=u\vee v$。所以说${\mathcal{C}}_{0,1}$和${\mathcal{C}}_{1,0}$中至少有一个是全部满足的。此时，我们在这个赋值的基础上设置$p$的值，使得：如果${\mathcal{C}}_{0,1}$全部满足，则令$p=1$使得${\mathcal{C}}_{1,0}$也全部满足；如果${\mathcal{C}}_{1,0}$全部满足，则令$p=0$使得${\mathcal{C}}_{0,1}$也全部满足。这样，${\mathcal{C}}_{0,0}$、${\mathcal{C}}_{0,1}$、${\mathcal{C}}_{1,0}$都全部满足，使得$\mathcal{C}$全部满足，这与$\mathcal{C}$不可满足矛盾。因此${\mathcal{C}}_{0,0}\cup \mathcal{H}$是不可满足的。

${\mathcal{C}}_{0,0}\cup \mathcal{H}$的每个子句都是从$\mathcal{C}$中直接或应用一次归结得到的，它相比$\mathcal{C}$少了一个变量。重复进行消去变量的过程，总能消去所有变量并得到空子句$\varnothing$。这样我们就证明了归结的完备性。

三、宽度和大小

一个子句$D$的大小，$|D|$，也被称为子句$D$的宽度（width），记作$\mathbf{w}(D)$，它也就是$D$中文字的个数。对于子句集$\mathcal{C}$，定义其宽度$\mathbf{w}(C)=\underset{D\in \mathcal{C}}{\max }\mathbf{w}(D)$，即其中宽度最大的子句的宽度。一个归结证明$\pi$的宽度$\mathbf{w}(\pi )$定义为$\pi$中出现的宽度最大的子句的宽度。定义${\mathbf{w}}_R(\mathcal{C})$为子句集$\mathcal{C}$宽度最小的证明的宽度，即${\mathbf{w}}_R(\mathcal{C})=\underset{\pi }{\min }\mathbf{w}(\pi )$。

为什么要研究证明的宽度呢？这是因为，对于一个宽度为$w$的证明，其行数（即步骤数）是有上界的：它不会超过所有宽度至多为$w$的子句的个数。如果我们要求子句中$p$和$\neg p$不得同时出现，则宽度为$w$的子句的个数为$2^w{C}_n^w$，其中$n$是变量个数。我们接下来将会看到，一个短的归结证明可以被转化为一个窄的归结证明（即宽度较小的归结证明）。如果我们能证明某个子句集的证明宽度有下界，那么就能证明其证明的行数也有下界。

我们称一个部分赋值为限制（restriction）。它是对某些变量的赋值。对于文字$l$，布尔值 ε ∈ { 0 , 1 } \varepsilon\in\{0,1\} ε∈{ 0,1}和子句$C$，我们定义$C$在赋值$l=\epsilon$限制下的结果为子句 C ↾ l = ε : = { C , 若 l 和 ¬ l 都没有在 C 中出现 1 , 若 l 在 C 中出现 C ∖ { l ¬ ε } , 若 l ¬ ε 在 C 中出现（这就是 C 和 l ε 归结的结果 C\upharpoonright l=\varepsilon:=\begin{cases} C,&\text{若}l\text{和}\neg l\text{都没有在}C\text{中出现}\\ 1,&\text{若}l\text{在}C\text{中出现}\\ C\setminus\{l^{\neg\varepsilon}\},&\text{若}l^{\neg\varepsilon}\text{在}C\text{中出现（这就是}C\text{和}l^\varepsilon\text{归结的结果} \end{cases} C↾l=ε:=⎩ ⎨ ⎧​C,1,C∖{ l¬ε},​若l和¬l都没有在C中出现若l在C中出现若l¬ε在C中出现（这就是C和lε归结的结果​比如，子句$C=a\vee b\vee c$在赋值$a=1$下变成$1$（因为它直接被满足了），在赋值$a=0$下变成$b\vee$