【复变函数笔记】傅里叶变换和拉普拉斯变换

一、傅里叶变换和拉普拉斯变换的定义

1. 傅里叶积分

傅里叶积分定理 若$f(t)$在$(-\infty ,+\infty )$上满足下列条件：
(1) $f(t)$在任一有限区间上满足狄利克雷条件（连续或只有有限个第一类间断点；只有有限个极值点）；
(2) $f(t)$在无限区间$(-\infty ,+\infty )$上绝对可积（即积分${\int }_{-\infty }^{+\infty }|f(t)|\mathrm{d}t$收敛），则有$$f(t)=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\infty }^{+\infty }\left[{\int }_{-\infty }^{+\infty }f(\tau )e^{-i\omega \tau }\mathrm{d}\tau \right]e^{i\omega t}\mathrm{d}\omega$$成立，而左端的$f(t)$在其间断点处应以$\frac{f(t+0)+f(t-0)}{2}$（左右极限平均值）代替。

2. 傅里叶变换

傅里叶变换：若$f(t)$在$(-\infty ,+\infty )$上满足傅里叶积分的条件，则称函数$$F(\omega )=\mathcal{F}[f(t)]={\int }_{-\infty }^{+\infty }f(t)e^{-i\omega t}\mathrm{d}t$$为$f(t)$的傅里叶变换；而称函数$$f(t)={\mathcal{F}}^{-1}[F(\omega )]=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\infty }^{+\infty }F(\omega )e^{i\omega t}\mathrm{d}\omega$$为$F(\omega )$的傅里叶逆变换。

3. 单位脉冲函数和单位阶跃函数

单位脉冲函数：$$\delta (t)=\{\begin{array}{ll}+\infty ,& t=0\\ 0,& t\ne 0\end{array}$$这是一个不严谨的表述，严谨的表述需要用到弱极限。该函数满足$${\int }_{-\infty }^{+\infty }\delta (t)\mathrm{d}t=1$$若$f(t)$为无穷次可微的函数，则有$${\int }_{-\infty }^{+\infty }\delta (t)f(t)\mathrm{d}t=f(0)$$$\delta (t)$是偶函数，满足$\delta (at)=\frac{1}{|a|}\delta (t)$（$a\ne 0$），且$${\int }_{-\infty }^{+\infty }{\delta }^{(n)}(t-t_0)f(t)\mathrm{d}t={(-1)}^n{f}^{(n)}(t_0)$$（这个用分部积分证明）。特别地，$${\int }_{-\infty }^{+\infty }{\delta }^{\prime }(t)f(t)\mathrm{d}t=-f^{\prime }(0)$$

单位阶跃函数：$$u(t)=\{\begin{array}{ll}1,& t>0\\ 0,& t<0\end{array}$$满足$$\begin{gathered} {\int }_{-\infty }^t\delta (\tau )\mathrm{d}\tau =u(t) \\ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}u(t)=\delta (t) \end{gathered}$$

4. 拉普拉斯变换

拉普拉斯变换：设函数$f(t)$在$t\ge 0$时有定义，且积分$\int$