13、模糊C均值聚类算法：原理、应用与挑战

模糊C均值聚类算法：原理、应用与挑战

1. 引言

在无监督学习中，聚类是一项重要任务，其目标是在给定数据集中发现潜在的簇结构。本文将重点介绍模糊C均值（Fuzzy C-means，FCM）聚类算法，它是一种生成对象数据软聚类的主要方法。同时，我们也会对比硬C均值（Hard C-means，HCM）算法，分析它们在不同数据集上的表现。

2. 模糊C均值算法原理

2.1 基本概念

在无监督学习里，首要任务是判断给定数据集 $X$ 中是否存在簇，若存在，确定簇的数量。大多数聚类算法，包括FCM，都需要将簇的数量作为输入，其工作是寻找数据集 $X$ 的“最佳”划分，而“最佳”划分的定义因算法而异。

FCM旨在将数据集 $X$ 划分为预先定义数量的簇，同时考虑簇分配的不确定性。它生成的是模糊划分，允许对象在不同簇之间共享。在FCM中，每个簇由一个簇中心（或示例、原型）表示，设 $v_i$ 为簇 $A_i$ 的原型，$V$ 为所有 $C$ 个簇中心的集合。

2.2 目标函数

FCM的目标是最小化以下准则函数：
[
J(U, V) = \sum_{k=1}^{n} \sum_{i=1}^{C} u_{ik}^m d^2(x_k, v_i)
]
约束条件为：
[
\sum_{i=1}^{C} u_{ik} = 1, \quad \forall k
]
其中，$u_{ik}$ 表示数据点 $x_k$ 属于簇 $i$ 的隶属度，$m$ 是模糊因子，$d^2(x, y)$ 是数据点 $x$ 与簇中心 $y$ 之间的距离平方。这个目标