30、经典与量子计算复杂度的统计力学

经典与量子计算复杂度的统计力学

1. 经典随机 k - SAT 的示意相图

经典随机 k - SAT 问题存在一个相转变，在某个值 $\alpha = \alpha_s(k)$ 处，当 $\alpha < \alpha_s$ 时，实例可满足；当 $\alpha > \alpha_s$ 时，实例不可满足。不过，并非所有 $\alpha < \alpha_s$ 的实例都可满足，但随着 $N \to \infty$，$\alpha’ < \alpha_s$ 的不可满足图出现的概率趋近于 0。

通过借鉴 Pauling 用于估计水冰中质子构型熵的想法，可粗略估计相转变发生的位置。将子句视为约束，每个子句会使允许的构型数量减少 $(1 - 2^{-k})$ 倍。对于 $M = \alpha N$ 个这样的约束，剩余的解数量为 $2^N(1 - 2^{-k})^{\alpha N}$。在热力学极限下，当 $\alpha > \alpha_{wb} = -1 / \log_2(1 - 2^{-k}) \sim 2^k \log 2$ 时，解的数量趋近于 0，这在 k - SAT 文献中被称为“一阶矩边界”。

SAT - UNSAT 转变并非该问题的唯一转变。利用从自旋玻璃研究中引入的统计力学方法，可在 SAT 相中建立更精细的结构。对于 $N$ 个变量，构型空间是一个 $N$ 维超立方体，相图以二维“投影”的方式展示了满足赋值之间的“接近”程度。随着 $\alpha$ 的增大，满足赋值会从一个单一的巨大簇逐渐分裂成越来越小且数量增多的簇。

这种构型空间的结构会影响求解相应实例的难度。小规模簇表示能量景观崎岖，有许多局部极小值，可能使搜索算法陷入