31、经典与量子计算复杂度的统计力学：量子可满足性问题解析

经典与量子计算复杂度的统计力学：量子可满足性问题解析

1. 随机集合与几何化特性

在研究随机集合时，规则的改变会带来显著影响。第二规则使得实例的测度从离散变为连续，这极大简化了分析过程。一般情况下，投影算子的选择能将量子可满足性问题转化为图的性质，而非哈密顿量的性质，这种“几何化”特性十分关键。它让我们能够从分析和数值计算的角度，对与随机和非随机图相关的哈密顿量的量子可满足性，甚至是非一般投影算子的选择，做出有力的判断。

2. 相图分析

2.1 k = 2 情况

对于 k = 2 的情况，相图相对简单。由于 2 - QSAT 问题属于 P 类问题，经典计算机能够高效地解决此类实例。具体而言，当 α < αs = 1/2 时，存在一个 PRODSAT 相，即该相可以由无纠缠的积态满足；当 α > αs 时，进入 UNSAT 相，此时基态能量密度为有限值。这个转变与几何转变相契合，αs = 1/2 对应着底层相互作用图中巨型组件的出现。
| α 取值范围 | 相态 | 特点 |
| ---- | ---- | ---- |
| α < αs = 1/2 | PRODSAT 相 | 可由无纠缠积态满足 |
| α > αs | UNSAT 相 | 基态能量密度有限 |

2.2 k ≥ 3 情况

当 k ≥ 3 时，相图变得更有趣。在低 α < αps(k) ∼ 1 时，存在一个 PRODSAT 区域，保证存在满足条件的积态。当 α 超过 αps 时，不存在满足条件的积态，但系统仍处于可满足状态，这意味着基态空间中存在“纠缠”转变。最后，当 α 超