27、经典与量子计算复杂性的统计力学

经典与量子计算复杂性的统计力学

一、引言

目前，构建量子计算机的工作正在如火如荼地进行。这一努力源于费曼和多伊奇等先驱的深刻见解，而肖尔发现量子计算机能够高效解决整数分解问题这一成果，更是推动了该领域的发展，毕竟整数分解目前仍是经典计算机难以企及的任务。

人们渴望创造出比现有经典计算机更强大的实用设备，同时，在过去十年里，精确控制大型量子系统也成为了量子物理学的核心挑战。为了评估量子计算机的潜在能力，量子计算机科学应运而生，量子复杂性理论也得到了发展。该理论基于经典复杂性理论，根据解决问题所需的资源对计算问题进行分类。资源的多项式缩放（尤其是时间）与超多项式缩放（如指数）之间的区别，清晰地划分了简单问题和困难问题。

在实际操作中，复杂性理论常采用一种“关联定罪”的方法，即通过问题之间的映射来对问题进行分类。例如，可满足性问题（SAT）涵盖了所有可通过经典计算轻松验证解的问题的难度；量子可满足性问题（QSAT）则对量子计算机起到了相同的作用。解决这些问题意味着能够解决大量可验证的问题，这充分表明SAT和QSAT都是困难问题。

物理学家通常采用直接研究实际问题实例并设计算法的方法，这与上述间接推理方法截然不同。物理学家将这些可满足性问题视为优化问题，类似于他们熟悉的哈密顿问题。他们通过研究具有各种自然概率测度的问题集合，揭示了困难实例的特征。

研究随机集合就像研究自旋玻璃等无序系统的统计力学理论一样，能带来技术上的简化，有助于阐明典型实例的结构。这不仅能识别出参数变化时的相变，还能发现大型算法解决典型实例时遇到的障碍，并构建避免这些陷阱的新算法。此外，对典型实例的关注也补充了复杂性理论中以最坏情况为主的标准结果。

复杂性理论与物理系